2直線の平行条件と垂直条件（基本形）
2直線の方程式（基本形）がそれぞれ、
$$L_1:y=mx+n,\ \ \ \ L_2:y=m'x+n'$$
である場合を考える。
平行条件
直線 $L_1,L_2$ が平行であるということは、直線の傾きが同じであること。
直線 $L_1,L_2$ の係数 $m,m'$ は、直線の傾きを表しているので、$m=m'$ であることすなわち、
$$L_1とL_2が平行 \Longleftrightarrow m=m'$$
です。
垂直条件
直線 $L_1,L_2$ が垂直であるということは、2直線を平行移動して原点を通るようにした、
$$y=mx,\ \ \ \ y=m'x$$
が垂直であることと同じこと。
この2直線 $y=mx,y=m'x$ と直線 $x=1$ との交点を $P,Q$ とすれば、2直線が垂直であるためには、三平方の定理により
$$PQ^2=OP^2+OQ^2$$
が成り立つことが必要。
点 $P,Q$ の座標はそれぞれ $(1,m),(1,m')$ なのでこの式は、
$$(m-m')^2=(1+m^2)+(1+m'^2)$$
となる。この式を展開すると、
$$m^2-2mm'+m'^2=2+m^2+m'^2$$
したがって、
$$-2mm'=2$$
ゆえに、
$$mm'=-1$$
すなわち、
$$L_1とL_2が垂直 \Longleftrightarrow mm'=-1$$
です。
2直線の平行条件と垂直条件（一般形）
2直線の方程式（一般形）がそれぞれ、
$$L_1:ax+by+c=0\ \ ,\ \ L_2:a'x+b'y+c'=0$$
である場合を考える。
この直線の式を変形して基本形の形にすると、
$$L_1:y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\ \ ,\ \ L_2:y=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'}$$
よって平行条件は、
$$-\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'}$$
したがって、
$$ab'-ba'=0$$
垂直条件は、
$$\left(-\frac{a}{b}\right)\cdot\left(-\frac{a'}{b'}\right)=-1$$
したがって、
$$aa'+bb'=0$$
となる。
これはこの2直線の法線ベクトル $(a,b)$ と $(a',b')$ の内積が $0$ 、すなわち垂直なベクトルであることを示している。
1点を通り、直線に平行な直線と垂直な直線
点 $(x_1,y_1)$ を通り、直線 $ax+by+c=0$ に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める。
この直線の式を変形すると、
$$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$
よってこの直線の傾きは、$-\dfrac{a}{b}$ で、1点と傾きが与えられた直線の方程式の公式により、
点 $(x_1,y_1)$ を通り、直線 $ax+by+c=0$ に平行な直線は、
$$y-y_1=-\frac{a}{b}(x-x_1)$$
したがって、
$$a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$$
となる。
またこの直線に垂直な直線の傾きは、法線ベクトル $(a,b)$ より $\dfrac{b}{a}$ なので、
点 $(x_1,y_1)$ を通り、直線 $ax+by+c=0$ に垂直な直線は、
$$y-y_1=\frac{b}{a}(x-x_1)$$
したがって、
$$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$$
となる。