この記事の目的
量子ゲートのうち、位相シフト演算を行う4つのゲート「S」「S†」「T」「T†」の内容を確認します。
4つの位相シフトゲート
位相ゲートの中に4つの位相シフト演算「S」「S†」「T」「T†」があります。それぞれ以下のような用途となっています。
(1)$\pi/2$位相シフト演算「S」
Z軸方向に$\frac{\pi}{2}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
Sゲートの行列が上記のようになることを確認します。
Sゲート適用前の量子状態を$|\psi〉$、Sゲート適用後の量子状態を$|\psi'〉$とします。
ブロッホ球の記述方式から、$|\psi〉$は以下のように書くことができます。
|\psi〉 = \cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}|1〉 ... 式(1)
上記のブロッホ球の記述方式については、以下をご参照下さい。
量子コンピュータの基本 - ブロッホ球の数式をしっかり解説
https://qiita.com/ttabata/items/0e839d03963d656551e0
また、$|\psi'〉$は$|\psi〉$にSゲートを適用して得られる状態なので、以下となります。
|\psi'〉 = S|\psi〉 ... 式(2)
ここで、Sは以下のような2x2行列とします。
S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ... 式(3)
次に、SゲートはZ軸方向に$\frac{\pi}{2}$回転のシフトを行うことから、$|\psi'〉$は以下のように書くことができます。
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi+\frac{\pi}{2})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉 ... 式(4)
式(4)を以下のように展開します。
\begin{align}
右辺&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{i\frac{\pi}{2}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ \Big(e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}\Big)(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})|1〉 ※1\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ \Big(e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}\Big)i|1〉 ... 式(5)
\end{align}\\
※1 オイラーの公式より
式を見やすくするために、$\alpha=\cos \frac{\theta}{2}, \beta=e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2}$とし、式(1)と式(5)を並べて書くと、
|\psi〉=\alpha|0〉+\beta|1〉 ... 式(6)\\
|\psi'〉=\alpha|0〉+\beta i|1〉 ... 式(7)\\
と書けます。ここで、|0〉と|1〉を以下として、式(6)を用いて式(2)を計算すると、
|0〉=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},|1〉=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
\begin{align}
|\psi'〉&=S|\psi〉\\
&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(\alpha|0〉+\beta|1〉)\\
&=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\bigg(\alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\bigg)\\
&=\alpha\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\
&=\alpha\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} ... 式(8)\\
\end{align}\\
式(7)と式(8)を比較して、
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}\\
よって、
a=1, b=0, c=0, d=i
このことから、式(3)に代入するとSゲートは
S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} ... 式(9)
以上でSゲートの行列が示されました。
同様の考え方で、その他のゲートの行列を確認することができます。
(2)$-\pi/2$位相シフト演算「S†」
Z軸方向に$-\frac{\pi}{2}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
上記の行列を求めるには「S」ゲートと同様の計算を行えば良いでしょう。
$|\psi'〉$について、以下のように定義します。
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi-\frac{\pi}{2})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉
式(5)で求めた$i$がここでは$-i$になるため、式(9)の行列は以下のようになります。
S†=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
(3)$\pi/4$位相シフト演算「T」
Z軸方向に$\frac{\pi}{4}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
これについて確認します。
Tゲート行列を以下とします。
T=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ... 式(10)
$|\psi'〉$は$|\psi〉$をZ軸方向に$\frac{\pi}{4}$回転したものなので、以下のように定義できます。
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi+\frac{\pi}{4})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉 ... 式(11)
これを変形すると
\begin{align}
|\psi'〉&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{i\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\Big)|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\frac{(1+i)}{\sqrt{2}}\Big)|1〉
\end{align}
a,b,c,dについて、式(8)と同様の計算を行うと以下のようになります。
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
よって、
a=1, b=0, c=0, d=\frac{(1+i)}{\sqrt{2}}
Tゲートは以下であることがわかりました。
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} ... 式(12)
(4)$-\pi/4$位相シフト演算「T†」
最後に、T†ゲートを確認します。
これはZ軸方向に$-\frac{\pi}{4}$回転のシフト演算を与えるゲートです。
以下のように定義されます。
$|\psi'〉$は式(11)の位相回転角を負にすれば良く、以下となります。
|\psi'〉=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i(\phi-\frac{\pi}{4})}\sin \frac{\theta}{2}|1〉
同様に変形して
\begin{align}
|\psi'〉&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}e^{-i\frac{\pi}{4}}\sin \frac{\theta}{2}|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\cos \frac{\pi}{4}-i \sin \frac{\pi}{4}\Big)|1〉\\
&=\cos \frac{\theta}{2}|0〉+ e^{i\phi}\Big(\sin \frac{\theta}{2}\Big)\Big(\frac{(1-i)}{\sqrt{2}}\Big)|1〉
\end{align}
a,b,c,dは
\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
よって、
a=1, b=0, c=0, d=\frac{(1-i)}{\sqrt{2}}
T†ゲートは以下であることがわかりました。
T† = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
4つの位相シフトゲートをまとめると下表となります。
S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}\\
S†=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}\\
T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1+i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\
T† = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{(1-i)}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
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