$y=x^2$ は数学で初めて習った曲線の関数です。その後、もっと一般的に $y=x^n$ などという関数も出てきて、$dx^n/dx=nx^{n-1}$ が成り立つことも教わりました。あれやこれやで、$y=x^n$ については既に完全にマスターしたつもりになって今に至りました。
しかし、よくよく考えてみれば。自分でグラフを描いたことがあるのは $n=-1$（双曲線）、$0$（水平線）、$0.5$（平方根）、$1$（直線）、$2$（放物線）、$3$（3次曲線） 程度しかありません。これだけでは、$y=x^n$ の具体的な特徴を身体で知ったことにはなりません。このままでは、問題解決のための新たな直観的な発想も湧き難いのではないでしょうか？
ということで、とりとめもなく色々と描いてみました。
いまさらながらですが、これを見て下記が実感できました。
- $n$ が非常に大きくなると、ほぼ直角に接続された直線に近づく。
- $x{=}0$ において二階微分が存在し、$0$ 以外の値を持つのは $n{=}2$ の場合のみ ということの視覚的理解。
- テイラー展開で、いくら次数を上げても、収束半径の縛りから逃れられない現実。