やりたいこと

reduxに依存せずredux-sagaを使う
さらにその上で、
pureなreduxを使う

こちらの記事と方向性は似ていますがredux-sagaまでは捨てられません。
ReduxでのMiddleware不要論

なにがうれしいか

pureなreduxが使える。reduxはstoreを管理するだけになりシンプル
reduxに代わるステート管理の機構やフレームワークへの差し替えがきく

どうやるか

redux-sagaにはExternal APIとして、runSaga(options, saga, ...args)というredux-saga以外のコンテキストからsagaを実行するAPIが存在することは以外と知られていないかもしれません。以下を参照
https://redux-saga.js.org/docs/api/
これを使えば、redux middlewareにredux-sagaをインストールすることなく任意のsagaを実行できます。
まずは、以下のようなrunSaga()のラッパーを書きます。

helper.js

const sagaOptionSingleton = (() => {                                                                                              

	let channelStd = stdChannel();
	let emitter = new EventEmitter();
 
 	emitter.on("action",channelStd.put);
 
 	return {
 	  	channel:channelStd,
 		dispatch:output => {
			emitter.emit("action",output);
 		},
 		getState:() => {}
 	};
 })();

export function runSagaWithFixedOpt(saga){                                                                                                            
  runSaga(sagaOptionSingleton,saga);
}

オプションにstdChannelのインスタンスを設定しているところが重要です。
公式ドキュメントではあまり説明されていませんが、
stdChannelはsagaのコンテキストで何らかのデータがyield putされた時sagaのaction channelにバッファするためのインターフェースです。これはシングルトンでなければいけません。
そのため、self executing functionでsagaOptionSingletonを生成し、runSagaのオプションは常にこれを使います。

このように、reduxのミドルウェアではなくなるため、当然ながらこのラッパーを使って実行するsagaやそこからフォークされるsagaの内部でyield putをしても、reduxのstoreには影響が及びません。
storeにデータを書き込みたければ普通にstore.dispatch()を使うだけです。
これでpureなreduxを使うことができるようになりました。

では、react-reduxのmapDispatchToPropsからdispatchされたアクションをsagaはどのように検知するか。

上記と同じ理由で検知できないので、
代わりに上記で書いたヘルパーを更にラップします。

helper.js

export function sendToSaga(data){
    function* sendSomethingToSaga(){    
       yield put(data);
    }
    runSagaWithFixedOpt(sendSomethingToSaga);
}

つまり非sagaコンテキストから単発のsagaを起動し、putを実行することでsagaへイベントを送ります。
すると、mapDispatchToPropsの実装は以下のようになります。

const mapDispatchToProps = dispatch => {
  return {
    increment: () => {
      sendToSaga({ type: 'INCREMENT' });//sagaへイベントを送る
    }
  }
}

このようにdispatchを使わなくなりました。（別に使っても良い）

結論

reduxに依存することなくredux-sagaを使うことができるようになりました。