2.17(難) 期待値の演算

1.方針

「連続関数が増加関数」とは，「微分して0以上」である．また指数が連なっていて嫌なので対数を取る．式変形が難しい．

1.答案

A(t)の対数を取って

h(t)=\log A(t)=\frac{1}{t}\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]

と置く．h(t)がtの増加関数であるためには，h'(t)=>0であれば良い．

h'(t)=-\frac{1}{t^2}\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]+\frac{1}{t}\frac{1}{\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]}\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t\log X]

であるから，

\begin{align}
h'(t)\geq0&\Leftrightarrow \frac{1}{t}\frac{\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t\log X]}{\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]}\geq \frac{1}{t^2}\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]\\
&\Leftrightarrow t\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t\log X]\geq \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]\\
&\Leftrightarrow \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t\log X^t]\geq\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]\tag{1}
\end{align}

ここで，Y=X^tと置くと，(1)式は

\mathbb{E}_{X\sim f_X}[Y\log Y]\geq \mathbb{E}_{X\sim f_Y}[Y]\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[Y]\tag{2}

と書ける．さて，

g(y)=y\log y

なる関数を考えると，

g''(y)=\frac{1}{y}>0,\ \ \forall y>0

よりgは凸関数であるから，Jensenの不等式により(2)式は成立する．

2.方針

1.を利用する．H,Mはそれぞれt=-1,1をA(t)に代入したものなので，Aは増加関数よりH<=Mである．あとはGがt=0を代入したものであることを示す．

2.答案

\begin{align}
\lim_{t\rightarrow 0}h(t)&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{\log\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t]}{t}\\
&= \lim_{t\rightarrow0}\frac{\mathbb{E}[X^t\log X]}{\mathbb{E}[X^t]}\\
&= \mathbb{E}[\log X]
\end{align}

なので，

\begin{align}
\lim_{t\rightarrow0}(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^t])^{1/t}&= \lim_{t\rightarrow0}\exp(h(t))\\
&= \exp(\mathbb{E}_{X\sim f_X}[\log X])\\
&= G
\end{align}

であるから，A(t)は増加関数より，H<=G<=Mが成り立つ．

参考文献

• 『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)