方針

超幾何分布の密度関数を階乗表現を使って書き下すと，

\begin{align}
f_X(x)&= \frac{{}_MC_x\times{}_{N-M}C_{n-x}}{{}_{N}C_n}\\
&= \frac{M!}{x!(M-x)!}\times\frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-n+x)!}\times\frac{n!(N-n)!}{N!}
\end{align}

となる．これを頑張って変形して，

f_X(x)={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x},\ \ \ (\frac{M}{N}\rightarrow p)

に持っていく，という問題．実数の階乗は，実数が十分に大ならばスターリングの公式を用いた近似を行うことができる．

スターリングの公式

実数kが十分大きい時，

k!\approx\sqrt{2\pi}k^{k+\frac{1}{2}}\exp(-k)

答案

\begin{align}
f_X(x)&= \frac{{}_MC_x\times{}_{N-M}C_{n-x}}{{}_{N}C_n}\\
&= \frac{M!}{x!(M-x)!}\times\frac{(N-M)!}{(n-x)!(N-M-n+x)!}\times\frac{n!(N-n)!}{N!}\\
&= \frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{M!(N-M)!(N-n)!}{(M-x)!(N-M-n+x)!N!}\\
&\approx {}_nC_x\frac{(Np)!(N-Np)!(N-n)!}{(Np-x)!(N-Np-n+x)!N!}\tag{1}\\
&\ \ \ \ \ \ (\because M\approx Np) 
\end{align}

今，N→∞より，(1)式の分数部分にスターリングの公式を適用すると，指数部分などが消去でき，

今，N→∞より，(1)式の分数部分にスターリングの公式を適用すると，

\frac{(Np)^{Np+\frac{1}{2}}(N-Np)^{N-Np+\frac{1}{2}}(N-n)^{N-n+\frac{1}{2}}}{(Np-x)^{Np-x+\frac{1}{2}}(N-Np-n+x)^{N-Np-n+x+\frac{1}{2}}N^{N+\frac{1}{2}}}\tag{2}

べき乗の数が分母分子で等しいので，分母分子をNで割ることは各要素の中身をNで割ることに等しい．よって，

\begin{align}
(2)&= \frac{(p)^{Np+\frac{1}{2}}(1-p)^{N-Np+\frac{1}{2}}(1-\frac{n}{N})^{N-n+\frac{1}{2}}}{(p-\frac{x}{N})^{Np-x+\frac{1}{2}}(1-p-\frac{n}{N}+\frac{x}{N})^{N-Np-n+x+\frac{1}{2}}1^{N+\frac{1}{2}}}\\
&\approx p^{Np+\frac{1}{2}-Np+x-\frac{1}{2}}(1-p)^{N-Np+\frac{1}{2}-N+Np+n-x-\frac{1}{2}}\ \ \ \ (\because N\rightarrow\infty)\\
&= p^x(1-p)^{n-x}\\
\therefore (1)&\approx {}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}
\end{align}

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)