方針

「0を送信する」という事象をA，「1を送信する」という事象をA^cと置き，「0を受信する」という事象をB，「1を受信する」という事象をB^cと置き，条件付き確率を計算する．1.の結果を2.で利用する．

答案

「0を送信する」という事象をA，「1を送信する」という事象をA^cと置き，「0を受信する」という事象をB，「1を受信する」という事象をB^cと置く．今，問題文より

P[A]=\frac{1}{3},\ P[A^c]=\frac{2}{3},\ P[B^c|A]=P[B|A^c]=\frac{1}{10}

であることが分かっている．

1.

\begin{align}
P[B]&= P[A\cap B]+P[A^c\cap B]\\
&= P[A]P[B|A]+P[A^c]P[B|A^c]\\
&= \frac{1}{3}\frac{9}{10}+\frac{2}{3}\frac{1}{10}\\
&= \frac{11}{30}
\end{align}

2.

\begin{align}
P[A^c|B]&= \frac{P[A\cap B^c]}{P[B]}\\
&= \frac{P[A^c]P[B|A^c]}{P[B]}\\
&= \frac{\frac{2}{3}\frac{1}{10}}{\frac{11}{30}}\\
&= \frac{2}{11}\\
P[A|B^c]&= \frac{P[A\cap B^c]}{P[B^c]}\\
&= \frac{P[A]P[B^c|A]]}{P[B^c]}\\
&= \frac{\frac{1}{3}\frac{1}{10}}{\frac{19}{30}}\\
&= \frac{1}{19}
\end{align}

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)