1.方針

確率変数Xの積率母関数とは，

M_X(t)=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]

というtについての関数である．これを微分し，t=0を代入したものはXの期待値である．

\begin{align}
\left.\frac{d}{dt}M_X(t)\right|_{t=0}&= \left.\frac{d}{dt}\mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]\right|_{t=0}\\
&= \left.\frac{d}{dt}\int e^{tx}f_X(x)dx\right|_{t=0}\\
&= \left.\int e^{tx} xf_X(x)dx\right|_{t=0}\\
&= \int xf_X(x)dx\\
&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]
\end{align}

同様に，これをk階微分し，t=0を代入したものはXのk階モーメントである．

\begin{align}
\left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0}&= \left.\frac{d^k}{dt^k}\mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]\right|_{t=0}\\
&= \left.\frac{d^k}{dt^k}\int e^{tx}f_X(x)dx\right|_{t=0}\\
&= \left.\int e^{tx} x^kf_X(x)dx\right|_{t=0}\\
&= \int x^kf_X(x)dx\\
&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^k]
\end{align}

1.答案

\begin{align}
M_X(t)&= \int_0^\infty e^{tx}e^{-x}dx\\
&= \int_0^\infty e^{x(t-1)}dx\\
&= \left[\frac{1}{t-1}e^{x(t-1)}\right]_0^\infty\\
&= \frac{1}{1-t}
\end{align}

2.方針

1で求めた積率母関数をk階微分することでk次モーメントを求める．答案では1~4階微分まで求めることで法則性を見つけている．

2.答案

\begin{align}
\frac{d}{dt}M_X(t)&= \frac{1}{(1-t)^2}\\
\frac{d^2}{dt^2}M_X(t)&= \frac{2(1-t)}{(1-t)^4}=\frac{2}{(1-t)^3}\\
\frac{d^3}{dt^3}M_X(t)&= \frac{3(1-t)^2\times 2}{(1-t)^6}=\frac{3!}{(1-t)^4}\\
\frac{d^4}{dt^4}M_X(t)&= \frac{4(1-t)^3\times 3!}{(1-t)^8}=\frac{4!}{(1-t)^5}\\
&\vdots\\
\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)&= \frac{k(1-t)^{k+1}(k-1)!}{(1-t)^{2(k+1)}}=\frac{k!}{(1-t)^{k+1}}\\
\therefore\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X^k]&= \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0}=k!
\end{align}

3.方針

変数変換の際はまず分布関数から考える．分布関数ができたらそれを微分することで確率密度関数を求める．

3.答案

Yの分布関数は，

\begin{align}
F_Y(y)&= P[Y\leq y]\\
&= P[\sigma X+\mu\leq y]\\
&= P[X\leq \frac{y-\mu}{\sigma}]\ \ (\because\sigma>0)\\
&= \int_0^{\frac{y-\mu}{\sigma}}e^{-x}dx\\
&= \left[-e^{-x} \right]_0^{\frac{y-\mu}{\sigma}}\\
&= -e^{-\frac{y-\mu}{\sigma}}+1\ \ (\mu<y)
\end{align}

なので，Yの確率密度関数は

f_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{1}{\sigma}\exp(-\frac{y-\mu}{\sigma})\ \  \ (\mu<y)

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)