方針

X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2),\ Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2),\ X,Y:iid

である時，これらの確率変数の和の分布を代表的な2種類の方法で解く．和の分布が有名分布に従う場合は，答案から分かる通り積率母関数から求めるほうが楽である．

答案

まずは畳み込みによって求める．

\begin{cases}
Z=X+Y\\
W=Y
\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}
X=Z-W\\
Y=W
\end{cases}

なる一対一変換を考える．

\left|\frac{\partial(X,Y)}{\partial(Z,W)}\right|=\left|\begin{pmatrix}1 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}\right|=1

より，

\begin{align}
f_{Z,W}(z,w)&= f_{X,Y}(z-w,z)\times 1\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\exp\{-\frac{(z-w-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\exp\{-\frac{(w-\mu_1)^2}{2\sigma_2^2}\}\\
&= \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left[-\frac{1}{2}\{\frac{(z-w-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(w-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\}\right]\tag{1}
\end{align}

ゆえ，

f_Z(z)=\int f_{Z,W}(z,w)dw\tag{2}

を解けば良い．

(2)式の指数部分の中身をwで平方完成して，

\begin{align}
\frac{(z-w-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(w-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\}
&= \frac{w^2+2(\mu_1-z)w+(z-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{w^2-2\mu_2w+\mu_2^2}{\sigma_2^2}\\
&= (\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2})w^2+2(\frac{\mu_1-z}{\sigma_1^2}-\frac{\mu_2}{\sigma_2^2})w+\frac{(z-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{\mu_2^2}{\sigma_2^2}\\
&= \frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}w^2+2\frac{\sigma_2^2(\mu_1-z)-\sigma_1^2\mu_2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}w+\frac{(z-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{\mu_2^2}{\sigma_2^2}\\
&= \frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\{w^2+2\frac{\sigma_2^2(\mu_1-z)-\sigma_1^2\mu_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}w\}+\frac{(z-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{\mu_2^2}{\sigma_2^2}\\
&= \frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\left(w+\frac{\sigma_2^2(\mu_1-z)-\sigma_1^2\mu_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)^2+\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
\end{align}

なので，

\begin{align}
f_{Z,W}(z,w)&\propto \exp\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}(w-\frac{\sigma_2^2(z-\mu_1)+\sigma_1^2\mu_2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2})\}\\
&\ \ \ \ \times\exp\{-\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\}
\end{align}

以上より，

(1)\propto\exp\{-\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\}

なので，

Z=X+Y\sim\mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)

次に，積率母関数によって求める．

\begin{align}
M_{X+Y}(t)&= m_X(t)M_Y(t)\\
&= \exp(\mu_1t+\frac{\sigma_1^2t^2}{2})\exp(\mu_2t+\frac{\sigma_2^2t^2}{2})\\
&= \exp\{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2}{2}\}\\
\therefore X+Y&\sim \mathcal{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)
\end{align}

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)