方針

前半のkと後半のkの意味が違うっぽい．略解見る限り，問題文は

f_X(x)=\frac{1}{2^{x+1}},\ \ x=0,1,...

が確率関数になることを示せ．この分布の確率母関数と積率母関数を求め，正の整数kに対して

\mathbb{E}_{X\sim f_X}[X(X-1)...(X-k+1)]

を求めよ．

の方がわかりやすいと思う．

この問題のメインは離散確率変数に対して定義される確率母関数．離散確率変数Xに対し，確率母関数G_Xとは，

G_X(s)=\mathbb{E}_{X\sim f_X}[s^X]

という，定数sについての関数である．これを微分し，s＝1を代入したものはXの期待値である．

\begin{align}
\left.\frac{d}{ds}G_X(s)\right|_{s=1}&= \left.\frac{d}{ds}\mathbb{E}_{X\sim f_X}[s^X]\right|_{s=1}\\
&= \left.\frac{d}{ds}\sum_xs^xf_X(x)\right|_{s=1}\\
&= \left.\sum_xxs^{x-1}f_X(x)\right|_{s=1}\\
&= \sum_xxf_X(x)\\
&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X]
\end{align}

同様に，これをk階微分し，s=1を代入したものはXのk次階乗モーメントである．

\begin{align}
\left.\frac{d^k}{ds^k}G_X(s)\right|_{s=1}&= \left.\frac{d^k}{ds^k}\mathbb{E}_{X\sim f_X}[s^X]\right|_{s=1}\\
&= \left.\frac{d^k}{ds^k}\sum_xs^xf_X(x)\right|_{s=1}\\
&= \left.\sum_x x(x-1)...(x-k+1)s^{x-k}f_X(x)\right|_{s=1}\\
&= \left.\sum_x x(x-1)...(x-k+1)s^{x-k}f_X(x)\right|_{s=1}\\
&= \sum_x x(x-1)...(x-k+1)f_X(x)\\
&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[X(X-1)...(X-k+1)]
\end{align}

答案

任意のx=0,1,...に対し，f_X(x)=>0が成り立つ．また，

\sum_{x=0}^\infty f_X(x)=\frac{1/2}{1-1/2}=1

より，fは確率関数の条件を満たす．確率関数fに従う確率変数Xの積率母関数は，

\begin{align}
M_X(t)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[e^{tX}]\\
&= \sum_{x=0}^\infty \frac{e^{tx}}{2^{x+1}}\\
&= \sum_{x=0}^\infty\frac{1}{2}(\frac{e^t}{2})^x\\
&= \frac{1/2}{1-e^t/2}\\
&= \frac{1}{2-e^t}
\end{align}

また，Xの確率母関数は，

\begin{align}
G_X(s)&= \mathbb{E}_{X\sim f_X}[s^X]\\
&= \sum_{x=0}^\infty \frac{s^x}{2^{x+1}}\\
&= \sum_{x=0}^\infty\frac{1}{2}(\frac{s}{2})^x\\
&= \frac{1/2}{1-s/2}\\
&= \frac{1}{2-s}
\end{align}

確率母関数G_Xより，Xのk次階乗モーメントを求める．

\begin{align}
\frac{d}{ds}G_X(s)&= \frac{1}{(2-s)^2}\\
\frac{d^2}{ds^2}G_X(s)&= \frac{2(2-s)}{(2-s)^4}=\frac{2}{(2-s)^3}\\
\frac{d^3}{ds^3}G_X(s)&= \frac{3(2-s)^2\times 2}{(2-s)^6}=\frac{3!}{(2-s)^4}\\
\frac{d^4}{ds^4}G_X(s)&= \frac{4(2-s)^3\times 3!}{(2-s)^8}=\frac{4!}{(2-s)^5}\\
&\vdots\\
\frac{d^k}{ds^k}G_X(s)&= \frac{k!}{(2-s)^{k+1}}
\end{align}

従って，

\mathbb{E}[X(X-1)...(X-k+1)]=\left.\frac{d^k}{ds^k}G_X(s)\right|_{s=1}=k!

参考文献

『現代数理統計学の基礎』(久保川達也　著)