ご挨拶
こんにちは。たいちゃんです。
今回は私の所属している秋葉原ロボット部で毎週月曜日の20時から実施している、「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」読書会からお話をしたいと思います。
読書会・・・!?
現在秋葉原ロボット部では『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 石井俊全著 ベレ出版 2017/3/27』の読書会を行っております。昨年2022/10/24から始めて現在はようやく第3章の『テンソルと直線座標のテンソル場』に入ったところです。今回お話ししますのは今迄皆と読み進めた中で、私が最初に大きく躓いたベクトル解析の『回転』の単元について自分なりに解釈したこととなります。
ベクトル解析と私との出会い
一応私は大学の電気電子工学科を出ています。勿論この時ベクトル解析の『回転』は他の『勾配』や『発散』と共に学びましたが、理解は本当に不十分でした。「『勾配』や『発散』は何となくイメージが湧くけど回転ってなんだ?」、「なぜこのようにベクトルの関数を微分すると回転になるんだ?」、「変数を順繰りに微分していくから『回転』なのかな?」、「そもそも『回転』を求める意味とは?」と言った感じで分かっていませんでした。卒業後20年程経った現在からするともっと努力すべきだったなと思います。
さて、いよいよ本題・・・
テキストP51より、回転の節になっています。
まず、『回転』の式のおさらいとして、
位置x=(x,y,z)において、\bigtriangledown\times \mathbf{A}(x)\rightarrow\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\times\left(A_x,A_y,A_z\right)\rightarrow\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)
式1. ベクトル解析の回転の式(テキストP51より引用)
テキストP51からの解説を読むと
『式の意味は初め2次元で考えるとイメージがつかみやすいでしょう』
とアドバイスがあります。P52からは図によって解説があります。
図1. 2次元での回転についての解説図(テキストP52より引用)
この図と解説文によると点PからQ迄、$x$方向の変化は$⊿x$と表すことが出来るとのことです。更に、$x$成分と$y$成分で表せる$V_y\left(x, y\right)$についてはPに対応する点をP’、Qに対応する点をQ’とする事が出来ます。その時直線P’Q’は直線PQに対して$θ_y$の角度を持つと考えられます。このときもし、$V_y\left(x, y\right)< V_y\left(x+⊿x, y\right)$であれば$θ_y>0$なので、この状態を表している$\frac{\partial A_y}{\partial x}$は符号が正となるようです。$θ_y>0$というのは高校の時に習った複素数の極座標と同じで反時計回りを正にするというのと同じなのかもしれません。
そして$V_x(x, y)$については$V_y(x, y)$より$x, y$を入れ替えて考えたのが$-\frac{\partial A_x}{\partial y}$となります。P53の説明文にもありますように
$V_x(x, y+⊿y) -V_x(x, y)$が正のとき、$θ_x$は負にとります』
とあるので、既に示されているように符号は負です。
以上を$xy$平面他、$yz$平面、$zx$平面で計算したのが、ベクトル解析の『回転』のようです。
ここ迄考えての感想
う～ん難しい。はっきり言ってイメージが湧かない。例えば『勾配』だと式2の様になります。
\bigtriangledown f\rightarrow\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)
式2. ベクトル解析の勾配の式(テキストP36より引用)
これなら関数$f(x, y, z)$が$x$方向、$y$方向、$z$方向に対象となる点で、それぞれの方向にどれだけ変化しているか微分によって調べているというのが分かります。
また、『発散』の場合だと式3のようになります。
位置x=(x,y,z)において、\bigtriangledown\ldotp \mathbf{A}(x)\rightarrow\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\ldotp\left(A_x,A_y,A_z\right)\rightarrow\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)
式3. ベクトル解析の発散の式(テキストP41より引用)
こちらの場合もベクトル$\mathbf{A}(x, y, z)$について対象となる位置$x$の成分である各$x$方向、$y$方向、$z$方向での変化量を合算したものが、微小空間での発散又は吸収になるということではないかと何となくですが理解出来ます。
しかし、『回転』は理解が私にとっては非常に難しいです。特に$\frac{\partial A_y}{\partial x}$とベクトル$\mathbf{A}(x, y, z)$の$y$成分を$y$ではなく$x$や$z$で微分したり、回転の計算結果は$x$成分なら$\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}$と$x$が1つも出てこなかったりする等一筋縄ではいかないところがあります。それでも簡単な計算問題なら解けるとは思います。しかし、それも計算方法に当てはめているだけなので、理解とは言えないかと思います。
日常生活で回転の例はどんなものがあるのだろうかと思いをはせてみます。手持ちの他の書籍等を見ると電磁気(そもそもこれは私の本職であるべき) や流体とあります。しかし、多変数の関数で電磁気的事象を表したりする方法が分かりません。イメージが出来ません。そもそも扱っているのは3次元の変数による関数なので、イメージするには4次元の空間が必要なのかもしれません。『回転』について多く書かれている資料は持ち合わせていないのですが、手持ちの資料で演習問題を含め調べてみたいです。
参考文献
一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 石井俊全著 ベレ出版 2017/3/27