注意事項
※この記事は、下の記事の続編です。
絶対値を取った確率密度関数の平均と分散
内容を理解するためには高校数学で習う置換積分の知識が必要です。
数学大嫌いな方には大変辛い内容になってます。
背景
この前の記事では、長くなるからという理由で式変形を省略しました。
しかしこれでは、
・式変形の結果に対する信頼性が落ちる
・式変形の内容を知るために私に連絡するのが面倒くさい
などの問題があるので今回載せることにしました。
式変形をする意義
そもそも、なぜ式変形をするのか?
プログラミングして、
計算機をブン回せばええやんって思うかもしれません。
そんなことありません!!
今回、取り扱う式の一つは下記の通り
\mu_{|x|}=\int_{-\infty}^{\infty}|X|\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm exp}\left(-\frac{\left(X-\mu_x\right)^2}{2\sigma_x^2}\right)dX
気づいて頂けただろうか?これを計算しようとすると、
積分計算を行う"あの(区分求積とか台形公式とかモンテカルロとか...の)"プログラムを作らねばならないのだ。
しかも、
・計算途中で数字がオーバーフローする
・アルゴリズムによってはシミュレーションと誤差が大きくなる
・計算時間がかかる
というリスク付き。そりゃ～大人しく式変形して
\mu_{|x|}=\sqrt{\frac{2\sigma_x^2}{\pi}}{\rm
exp}\left(-\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}\right)+\mu_x\left(1-{\rm
erfc}\left(\sqrt{\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}}\right)\right)
↑とかいう式にしてmath関数使ってソースコード書くっしょ。
これなら１行で書ける。その上リスクも回避できる。
分散も同様のことが言える。前座はここまで。
この先、数学アレルギーの方は即ページ離脱を勧めます。
本題：式変形
Xの絶対値を取った平均
\begin{split}
\mu_{|x|}=&\int_{-\infty}^{\infty}|X|\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm exp}\left(-\frac{\left(X-\mu_x\right)^2}{2\sigma_x^2}\right)dX\\
&y=X-\mu_xと置くと以下のようになる。\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}|y+\mu_x|\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy\\
&=\int_{-\infty}^{-\mu_x}-(y+\mu_x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy+\int_{-\mu_x}^{\infty}(y+\mu_x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy\\
&=-\int_{-\infty}^{-\mu_x}y\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy
-\mu_x\int_{-\infty}^{-\mu_x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy\\
&\quad+\int_{-\mu_x}^{\infty}y\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy
+\mu_x\int_{-\mu_x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_x^2}}{\rm
exp}\left(-\frac{y^2}{2\sigma_x^2}\right)dy\\
&z=\frac{y}{\sqrt{2\sigma_x^2}}と置くと、dy=\sqrt{2\sigma_x^2}dzより\\
与式&=-\int_{-\infty}^{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}\sqrt{2\sigma_x^2}z\frac{1}{\sqrt{\pi}}{\rm
exp}(-z^2)dz-\mu_x\int_{-\infty}^{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{\rm
exp}(-z^2)dz\\
&\quad+\int_{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}^{\infty}\sqrt{2\sigma_x^2}z\frac{1}{\sqrt{\pi}}{\rm
exp}(-z^2)dz+\mu_x\int_{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{\rm
exp}(-z^2)dz\\
&ここで、\\
&{\rm
erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt\Longleftrightarrow{\rm
erfc}(x)=1-{\rm erf}(x)\Longleftrightarrow{\rm erf}(x)=1-{\rm erfc}(x)より、\\
与式&=-\sqrt{\frac{2\sigma_x^2}{\pi}}\left[-\frac{1}{2}{\rm
exp}(-z^2)\right]_{-\infty}^{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}-\frac{\mu_x}{2}{\rm
erfc}\left(\sqrt{\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}}\right)\\
&\quad+\sqrt{\frac{2\sigma_x^2}{\pi}}\left[-\frac{1}{2}{\rm
exp}(-z^2)\right]_{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}^{\infty}+\mu_x\left(1-\int_{-\infty}^{-\frac{\mu_x}{\sqrt{2\sigma_x^2}}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{\rm
exp}(-z^2)dz\right)\\
&=\frac{\sqrt{2\sigma_x^2}}{2\sqrt{\pi}}\left[{\rm
exp}\left(-\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}\right)-\frac{1}{{\rm exp}(\infty)}\right]-\frac{\mu_x}{2}{\rm
erfc}\left(\sqrt{\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}}\right)\\
&\quad+\frac{\sqrt{2\sigma_x^2}}{2\sqrt{\pi}}\left[-\frac{1}{{\rm exp}(\infty)}+{\rm
exp}\left(-\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}\right)\right]+\mu_x\left(1-\frac{1}{2}{\rm
erfc}\left(\sqrt{\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}}\right)\right)\\
&=\sqrt{\frac{2\sigma_x^2}{\pi}}{\rm
exp}\left(-\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}\right)+\mu_x\left(1-{\rm
erfc}\left(\sqrt{\frac{\mu_x^2}{2\sigma_x^2}}\right)\right)
\end{split}
ただし、$\mu_x=0$の時、
\mu_{|x|}=\sqrt{\frac{2\sigma_x^2}{\pi}}
となる。
Xの絶対値を取った分散
$F(X)$を絶対値を取る前の確率密度関数とする。
\begin{split}
&\sigma_{|X|}^2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}(|X|-\mu_{|x|})^2F(X)dX\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}|X|^2F(X)dX-2\mu_{|x|}\int_{-\infty}^{\infty}|X|F(X)dX+\mu_{|x|}^2\int_{-\infty}^{\infty}F(X)dX\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}X^2F(X)dX-2\mu_{|x|}^2+\mu_{|x|}^2\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}X^2F(X)dX-\mu_{|x|}^2\\
&ここで、\sigma_{|x|}^2同様、
\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{\infty}X^2F(X)dX-\mu_x^2より、\\
&\int_{-\infty}^{\infty}X^2F(X)dX=\sigma_x^2+\mu_x^2である。\\
&よって、\\
&\sigma_{|x|}^2=\sigma_x^2+\mu_x^2-\mu_{|x|}^2
\end{split}
ここまで、式変形を追って理解できた皆さん、お疲れ様でした。
私から皆さんの努力に"いいね"をあげたい気分です。
質問があればコメント欄にどうぞ