ReactのUIフレームワークとして有名なMaterial-UI(v4)でCSSアニメーションを行います。
withStyle内にクラスとしてcss transitionおよびcss animationを定義できます。

css transition

参考：Custom CSS transitions with React Material UI

css transitionを定義するにはtheme.transitions.createを使います。
第一引数には変化するCSS属性を指定します。第二引数にはアニメーション時間を指定します。

RainbowButton.jsx

import React from 'react'
import { withStyles } from '@material-ui/core'
import Button from '@material-ui/core/Button'

const RainbowButton = withStyles(theme => ({
  root: {
    color: theme.palette.common.white,
    fontWeight: 'bold',
    textShadow: `2px 2px 4px ${theme.palette.common.black}`,
    fontSize: 32,
    background: 'linear-gradient(100deg, red, yellow, lightgreen, aqua, blue, pink, magenta)',
    filter: 'saturate(90%)',
    transition: theme.transitions.create(
      ['opacity'],
      { duration: theme.transitions.duration.complex }
    ),
    '&:hover': {
      opacity: 0.7,
    },
  },
}))(({classes, className, ...props}) => <Button className={[classes.root, className].join(' ')} {...props} />)

export default RainbowButton

マウスオーバーすると半透明になります。

css animation

$アニメーション名でアニメーション名を指定します。
MUI-v4以前の場合は$をつけません。

New.jsx

import React from 'react'
import { withStyles } from '@material-ui/styles'
import { red } from '@material-ui/core/colors'

let New = ({children, classes}) => (
  <div className={classes.root}>
    <div className={classes.new}>New</div>
    {children}
  </div>
)

New = withStyles((theme) => ({
  root: {
    position: 'relative',
  },
  new: {
    position: 'absolute',
    top: -20,
    left: 0,
    color: red[500],
    fontSize: 24,
    fontWeight: 'bold',
    transform: 'rotateZ(15deg)',
    textShadow:
    `1px 1px 0.5px ${theme.palette.grey[300]},
    -1px 1px 0.5px ${theme.palette.grey[300]},
    1px -1px 0.5px ${theme.palette.grey[300]},
    -1px -1px 0.5px ${theme.palette.grey[300]}`,
    animation: '$newAnimation 1s ease infinite alternate',
  },
  '@keyframes newAnimation': {
    '0%': {transform: 'rotateZ(-15deg) scale(1.0)'},
    '100%': {transform: 'rotateZ(-15deg) scale(1.3)'},
  },
}))(New)

export default New

Newの文字がアニメーションします。

withStyleにprops経由でパラメータを渡す

v4からpropsからの情報をwithStyleで参照できるようになりました。
次のようにアロー関数の戻り値形式で指定します。
opacity: props => props.opacity || 0.8,

RainbowButton2.jsx

import React from 'react'
import { withStyles } from '@material-ui/core'
import Button from '@material-ui/core/Button'

const RainbowButton = withStyles(theme => ({
  root: {
    color: theme.palette.common.white,
    fontWeight: 'bold',
    textShadow: `2px 2px 4px ${theme.palette.common.black}`,
    fontSize: 32,
    background: 'linear-gradient(100deg, red, yellow, lightgreen, aqua, blue, pink, magenta)',
    filter: 'saturate(90%)',
    transition: theme.transitions.create(
      ['opacity'],
      { duration: theme.transitions.duration.complex }
    ),
    '&:hover': {
      opacity: props => props.opacity || 0.8,
    },
  },
}))(({classes, className, ...props}) => <Button className={[classes.root, className].join(' ')} {...props} />)

export default RainbowButton