TL;DR

DATE_FORMATで %Y を使用する場合は、以下を参考にする
- where句でコールバック関数とクロージャーを使用し、eqメソッドを使用する

$createdFormat = $query->func()->date_format([
    'created'    => 'identifier',
    "'%Y-%m-%d'" => 'literal'
]);
$query->where(function ($exp) use ($createdFormat, $created) {
    return $exp->eq($createdFormat, $created);
});

前提

PHP
- 7.3.11
CakePHP
- v3.6.14

事象

1.
ORM: $query->where(["DATE_FORMAT(created, '%Y-%c') = " => $date])
SQL: WHERE DATE_FORMAT(created, '%y-%c') = :c0
################
2.
ORM: $query->where(["DATE_FORMAT(created, '%Y-%c') = ${date}"])
SQL: WHERE DATE_FORMAT(created, '%Y-%c') = 2020-8)

上記の通り、連想配列によるデータの渡し方では、発行されるSQLのフォーマットが、Y → y になってしまう
変数展開による渡し方では、発行されるSQLのフォーマットは、Y のまま

原因

巡りめぐってQueryExpression::_parseCondition()を参照し、そこでstrtolowerを行ってるため
以下対象コードの一部抜粋

    protected function _parseCondition($field, $value)
    {
        $operator = '=';
        $expression = $field;
        $parts = explode(' ', trim($field), 2);

        if (count($parts) > 1) {
            list($expression, $operator) = $parts;
        }

        $type = $this->getTypeMap()->type($expression);
        $operator = strtolower(trim($operator));

        ...

        return new Comparison($expression, $value, $type, $operator);
    }

対策

date_formatで指定したいカラムを、別でフォーマット化する
WHERE句でコールバック関数とeqメソッドを使って条件に追加する

$createdFormat = $query->func()->date_format([
    'created'    => 'identifier',
    "'%Y-%m-%d'" => 'literal'
]);
$query->where(function ($exp) use ($createdFormat, $created) {
    return $exp->eq($createdFormat, $created);
});