移動ロボットにおけるブラシ付きDCモータのPID制御

この記事は「マイクロマウス Advent Calendar 2022」ならびに、「制御工学 Advent Calendar 2022」の12日目です。
マイクロマウス Advent Calendar 202211日目の記事は、アライさんのマイクロマウス合宿の記事でした。マイクロマウス合宿は良い学びの場になる一方、開催のノウハウが残っていない・運営の負担が大きかったので、運営としてやるべきタスクが整理されているのは非常に大事なことだと思います。

はじめに

この記事では、ブラシ付きDCモータ(以下DCモータ)を用いたタイヤ駆動のロボット(例：マイクロマウス、ライントレーサー)について取り扱います。
（角度制御するロボットアームなどにも応用はできるはずですが、扱う範囲が広がりすぎるので特に触れません。）

また、ロボットスペックの各種パラメータは何度も使うので予め定義しておきます。

項目	記号	単位	備考
車速	$V$	m/s
ギヤ比	$G_R$	-
タイヤ径	$R_W$	m
バッテリ電圧	$V_B$	$V$
モータ電圧	$V_M$	$V$	モータ両端に掛かる電圧。PWMにより可変
モータ電流	$I_M$	$A$
モータ回転数	$N$	rpm	$N = \frac{60V}{\pi R_W} G_R$
モータ回転定数	$k_n$	rpm/V	無負荷回転数/定格電圧
逆起電力定数	$k_E$	V/rpm	$k_E = \frac{1}{k_n}$
トルク定数	$k_M$	Nm/A
モータインダクタンス	$L_M$	$H$
モータ端子間抵抗	$R_M$	$\Omega$

ハードウェアの設計

こちらの7項目目にあるように、良いロボットは良いハードの設計があってこそです。

メカ

ここではメカの詳細な内容を解説することは差し控えますが、以下のような項目がポイントかと思います。

• ギヤやタイヤの精度は十分か？
  • 精度が悪い場合、非線形が強くなり制御しにくくなる（静止摩擦係数の増大。回転中の摩擦変化。）
• ギヤのバックラッシは適当か？直径と歯数の比(モジュール)は可能な限り小さくなっているか？
  • 非線形性(ヒステリシス)を持つので制御性が悪化する
• エンコーダの精度(分解能)は十分か
  • モータ側に取り付けることで精度はギヤ比倍される

回路

だい～ぶ長くなったので別記事にしました。

フィードバック(F/B)制御

今回対象にする速度のPID制御システムを以下に示します。水色の箇所はマイコン内のプログラムで実装されます。緑の部分はマイコンのハード機能と周辺回路。オレンジは電気的・メカ的要素です。
（わかりやすさのために色々省いてます。また、積分や微分はデジタルっぽい感じに表現し直してます。）

デジタル制御とアナログ制御

PID制御は本来線形・時不変システムを前提としています（言い換えればすべて一つの微分方程式で記述可能なシステムです）。
一方、マイコン上に実装したプログラミングでPID制御する以上、PWMや計算時間・エンコーダなどなど、非線形・時変システムな要素が含まれます。
つまり、本来デジタル制御用のマイコンシステムを無理やりアナログ制御化する必要があるので以下の点に注意が必要です。

• 制御周期(=無駄時間)は無視できるぐらいに短いか？

  • 例えば最低限時定数の10分の1ぐらい（ゲイン選定にもよるので感覚にはなりますが）
  • 制御周期よりエンコーダパルスの間隔は速くする。
    （制御周期にエンコーダパルスが来ないほど遅い速度はフィードバックをやめてブレーキするなどの対策）
  • せっかく制御周期が速くてもPWM周期が長いと意味がない。

• 制御周期はいつでも同じか？

  • タイマ割り込みを使う
  • 割込み禁止や割り込み中の計算時間で割り込み時間が大きく変わっていないか？

• PWMのDutyやエンコーダで検出した速度、計算中の値は十分な分解能(=線形とみなせる)があるか？

  • 最低9~10bitぐらいはほしい。低分解能のF/Bは現代デジタル制御の領域。

• フィードバックのON/OFFや想定外の誤差など、想定外の対策はあるか？

  • 微分値・積分値のリミット
  • 制御のON/OFFを切り替えた時、積分・微分値リセット

• その他、線形とみなせる設計か？

  • ドライブ回路、メカなど”変な癖”がないか？

カスケード制御

DCモータを用いたロボットにおける速度制御では、カスケード制御を用いることで制御性が向上します。カスケード制御とは、１段目のフィードバック制御(メジャーループ）の出力を2・３段目のフィードバック制御(マイナーループ)の目標値として用いる制御です。
今回の例では、速度制御がメジャーループ。モータの電流制御がマイナーループに該当します。電流フィードバックが必要な都合上、前の制御図では省略されていたモータ内部のモデルを展開しています。

（ちなみにマイナループ応答や誤差の影響度合いでP制御以外を省くことが可能です）

カスケード制御を用いるメリットとしては、以下の点が挙げられます。

• モータの発生するトルクが安定し、速度制御の誤差が減少する。
  • 理由①：速度が増加すると逆起電力も増加し、同じDutyでもトルクが変わる(≒最適なPIDゲインが速度で変動する)。電流をF/Bしていればこれを防止できる。
  • 理由②：電源電圧などの変動で電流が変動しトルクが変わることを防止。
• モータの発生するトルクの応答性が向上し、速度制御の応答性が改善する。
  • 理由①：速度制御の誤差要因が減るので、メジャーループのゲインを ”攻める” ことができる。
  • 理由②：マイナーループの制御により、メジャーループからは素直な特性に見える。

ただ、制御ブロックを見てわかる通りなかなかに複雑な制御になります。モータの電流検出回路が必要ですし、モータの電流応答はメカに比べて遥かに速いのでマイナーループは制御周期の高速化が必要です（モータによっては数十μｓ程度）。
（ICを使うとか、ディスクリートで組むとか、いっその事アナログパワーアンプにしてしまうなどなど、ハードにまかせてしまえば制御周期の問題は解決ですが。。。）

フィードフォワード(F/F)制御

フィードバック制御は実際に誤差が発生するまで対応しないので、フィードフォワード制御の方が応答性が勝りますが、フィードフォワード制御単体は誤差が出ても対処出来ない欠点があります。
そこで、フィードバック制御に割り込ませるようにフィードフォワード制御を付け足すことで、応答性の向上と誤差の低減を両立可能です。

電圧の正規化

電源電圧が変動すると同じDutyでも出力電圧が変わってしまいます。フィードバック制御はこの変動が速度変化に現れてから対処となりますが、基準となる電源電圧を決めて電圧が高い場合はDutyを下げるようにフィードフォワード制御すれば対策出来ます。

補正係数$K_{FFB}$は以下の用に計算されます。
$V_{BN}$は基準となるバッテリ電圧です。Dutyは1以上にはならないので、通常のバッテリ電圧より低い値である必要があります。
（もちろんあまりに低い基準電圧にするとバッテリ電圧が高くても性能が絞られてしまいます）

K_{FFB} = \frac{V_B}{V_{BN}}

また、当然のことながら電流F/B制御を行っている場合はこのプログラムは不要です。

速度のF/F

制御の目標値は速度のためモータの回転数に比例します。そしてモータの回転数は(外乱を抜きにすれば)Duty比(≒モータ電圧)に比例します。

速度F/Fのゲインは、Duty100%時の速度から求められます。
(タイヤに反射板を貼り光学式回転計などを用い実験的に求めることも可能です)

K_{FFV} = \frac{V_{target}}{\frac{V_{BN}k_n}{60G_R}\pi R_W}

なお、係数に含まれるバッテリ電圧を実際に計測した電圧値に置き換えることも可能ですが、どうせならフィードバック側も含めて補正したほうがよいでしょう。

電流のF/F

先に述べたカスケード制御では、電流F/Bの実装が大変であることを説明いたしました。実際に電流をF/Bする代わりに逆起電力を推定して差し引くことである程度簡略化が可能です。
(もちろん、インダクタンスやバッテリ電圧変動の影響は取り除けません）

I_{M} \fallingdotseq \frac{V_M-Nk_n}{R_M} \\
I_{M} \fallingdotseq \frac{(V_B * Duty)-Nk_n}{R_M} \\ 
Duty \fallingdotseq \frac{I_{MTGT}R_M + Nk_N}{V_B}

F/F制御の注意点

F/F制御はF/B制御側から見ると”外乱”に見えてしまいます。誤差が減る側に作用していれば結果的には問題ないですが、逆だと困ったことになります。
チューニング・動作確認の際は、P・I・D制御・各種F/FをDutyに反映する箇所(図では足し算のところ)をON/OFF切り替えできるようにしたうえで、以下の値はモニタしておくと良いでしょう。

• 目標値と実際の値(あたりまえ)
• P制御、I制御、D制御単体の出力値
  • F/F制御を有効にした場合はF/B制御の出力値は小さくなるはず。
  • F/F制御が妨害してしまっていることを確認できる。
• F/F制御それぞれ単体の出力値
  • F/F制御の反映をOFFにした場合でも、F/B制御と同じ値になっているか？
• Duty
  • Dutyが飽和(100%)になっていないか？

終わりに

PID制御の理論は数多く書籍や論文が出ているとは思いますが、マイコンによる実装に特化した話は中々まとまっていない様に思えます。
より詳しくは参考の章に掲載のHPに書いてあるので参考にしてください。
（特に私はゲインチューニングが下手くそなので、調整方法についてはあえて触れていないです^^）
マイクロマウス Advent Calendar 2022の13日目は㈱RTの中川 範晃さんによる「STM32CubeMonitorの紹介」です。
あまり詳しくはないですが、マイコンのRAMが自作ソフトなしにモニターできるようです。是非参考にさせてください！

参考

• 宮崎技術研究所