場合によっては、Lambda Functionsでクライアント情報を取得する必要があります。
たとえば、クライアントのIPアドレスを確認します。

API Gateway（Lambda Proxy）→ Lambda Functions（Golang）を構築してみました。
Lambdaで、APIGatewayを呼び出したクライアントの情報を取得しました。

Golangのサンプルコード:

package main

import (
    "context"
    "fmt"
    "github.com/aws/aws-lambda-go/events"
    "github.com/aws/aws-lambda-go/lambda"
)

func handleRequest(ctx context.Context, request events.APIGatewayProxyRequest) (events.APIGatewayProxyResponse, error) {
    strInfo1 := request.RequestContext.Identity.SourceIP
    strInfo2 := request.RequestContext.Identity.UserAgent
    strInfo3 := request.RequestContext.Identity.User
    strInfo4 := request.RequestContext.Identity.Caller
    
    result := fmt.Sprintf("IP: %s \nUserAgent: %s \nUser: %s \nCaller: %s\n", strInfo1, strInfo2, strInfo3, strInfo4)
    fmt.Sprintf("%s", result)
    return events.APIGatewayProxyResponse{Body: result, StatusCode: 200}, nil
}

func main() {
    lambda.Start(handleRequest)
}

結果は...
・ブラウザで

・CURLで

# curl -k https://ul7****d.execute-api.ap-northeast-1.amazonaws.com/prd
IP: 13.***.***.76
UserAgent: curl/7.79.1
User:
Caller: 

# curl ipconfig.io
13.***.***.76

PythonまたはNodeJSでIPを取得しようとしています。

参考ドキュメント：
[type APIGatewayRequestIdentity struct]
https://github.com/aws/aws-lambda-go/blob/bc1ec47cb1670c0d5eaca47c10d89789d8507c3d/events/apigw.go#L134

[Building Lambda functions with Go]
https://docs.aws.amazon.com/lambda/latest/dg/lambda-golang.html

[Using AWS Lambda with Amazon API Gateway]
https://docs.aws.amazon.com/lambda/latest/dg/services-apigateway.html