背景:
プライベートDNSゾーンにはCNAMEが利用できそうですため、実機で検証してみました。
結果としては無事に成功です。
検証詳細
環境構築:
VM1台作成
Vnet1作成
pravite DNS zoneを2個作成:tanpdns.co.jp とtantest.private.comです。
作業:
1.2個のprivate DNS zoneをVnet1にリンクします。
2.適切にrecordを作成します。
tanpdns.co.jpにはcnameを作成します。念のためにTTLを1分間に設定しました。

tantest.private.comのゾーンにはA recordを作成します。

3.VMにログインして、nslookupを実施.無事にたどり着いたね。
[tanhiroshi@redhat80 ~]$ nslookup testtan2.tanpdns.co.jp
Server:168.63.129.16
Address:168.63.129.16#53
Non-authoritative answer:
testtan2.tanpdns.co.jpcanonical name = testtan2.tantest.private.com.
Name:testtan2.tantest.private.com
Address: 11.11.11.11
感想
なかなか便利ですね。自作 Private DNS Zone 同士は完全に連鎖できます。
testtan2.tanpdns.co.jp
→ CNAME → testtan2.tantest.private.com
→ A → 11.11.11.11
既定のAzure serviceのprivate DNS zoneが同様にcnmaeの利用ができますか。
進めて検証してみました。
今度はstorage accountの既定のprivate DNS zoneでcnameを設定しました。

結果としてはtesttan2.privatelink.blob.core.windows.netならいけます。
でもprivatelinkを抜いたらできなくなります。
[tanhiroshi@redhat80 ~]$ nslookup testtan2.blob.core.windows.net
Server:168.63.129.16
Address:168.63.129.16#53
** server can't find testtan2.blob.core.windows.net: NXDOMAIN
[tanhiroshi@redhat80 ~]$ nslookup testtan2.privatelink.blob.core.windows.net
Server:168.63.129.16
Address:168.63.129.16#53
Non-authoritative answer:
testtan2.privatelink.blob.core.windows.netcanonical name = testtan2.tantest.private.com.
Name:testtan2.tantest.private.com
Address: 11.11.11.11
追加検証:
こんな利用のシナリオもあると考えられます。
1.Windows DNS server(IP 10.0.0.4) を構築して、条件付きFowardを設定。
tanpdns.co.jpの場合、168へ転送します。

2.client VMのVnetにてcustom DNS serverを10.0.0.4に指定します。
3.Windows DNS serverのVNetに2個private DNS zoneをリンクします。
(tanpdns.co.jp とtantest.private.comです。cname設定済み)
4.Client VMから解決してみたら成功です。
[tanhiroshi@redhat80 ~]$ nslookup testtan2.tanpdns.co.jp
Server:10.0.0.4
Address:10.0.0.4#53
Non-authoritative answer:
testtan2.tanpdns.co.jpcanonical name = testtan2.tantest.private.com.
Name:testtan2.tantest.private.com
Address: 11.11.11.11
参照文章:
https://qiita.com/tanhiroshi/items/240e6a92a3bc535c46ee