はじめに

この記事はMarkovのレーティングシステムの続きである。今回は、ODレーティング(Offense and Defense rating)について解説する。

OD レーティング

ODレーティングではレートrを次のように定義する。

r_i = \frac{o_i}  {d_i}

ここで、$o_i,d_i$はそれぞれオフェンスレートとディフェンスレートであり、それぞれスコア行列$A = [a_{ij}]_{m \times m}$を利用して次のように決定される。

o_j = \frac{a_{1j}}{d_1} + \frac{a_{2j}}{d_2} + \cdots + \frac{a_{mj}}{d_m}

d_i = \frac{a_{i1}} {o_1} + \frac{a_{i2}}{o_2} + \cdots + \frac{a_{im}}{o_m}

ここで、オフェンスレートとディフェンスレートがそれぞれに依存しているため、cyclicalな問題になってしまう事が分かると思う。そこで、i番目のオフェンスレート$\vec{o}_i$とディフェンスレート$\vec{d}_i$を次のように決定し、収束するまでiを大きくすることでレートを導出する。

\vec{o}_i = A^T ( A \vec{o}_{i-1}^{\div})^{\div}

\vec{d}_i = A^T ( A \vec{d}_{i-1}^{\div})^{\div}

($\vec{x}^{\div} = (1/x_1,1/x_2,\cdots,1/x_m)^T$)
($\vec{o} = \vec{d} = \vec{e} = (1,1,\cdots,1)^T$)

スコア行列Aについて

スコア行列はチームiがチームjから取った総得点を行列要素$a_{ij}$とする行列である。

オフェンスレートとディフェンスレートが収束するかどうかはこのスコア行列の性質に依存する。そこで、このスコア行列が必ず収束するように、スコア行列を変換する。

スコア行列をどのように変換するかというと次のような対角行列 $ R,C$を両側からかければいい。

[C]_{ii} = \frac{1}{[\vec{e}^T A]_i}

[R]_{ii} = \frac{1}{[AC \vec{e}]_i}

A \rightarrow R A C

これを、Aの行和・列和が1になるまで繰り返す。

例題

前回と同様にRLCSのデータを利用してレートを導出する。
まず、スコア行列を

\begin{pmatrix}
 0  & 8 &  3 & 12 & 6 \\
 8 &  0 & 3 &  2 &  7 \\
 12 &  9 &  0 &  6 &  9 \\
 8 &  9 &  3 &  0 & 9 \\
 11 & 13 &  3 & 10 & 0
\end{pmatrix}

と定義する。
これを利用して、$\vec{r}_{20}$まで導出した。
20回目でのレートは以下のようになった。

order	team	rate	def rate	off rate
1	V1	1.683	0.721	1.213
2	RGE	1.254	1.071	1.343
3	OXG	0.978	0.958	0.937
4	SQ	0.910	1.233	1.122
5	VOLT	0.407	1.034	0.421

この結果を見ると、MasseyやColleyの方法で導出したレートと同じである事が分かる。

終わりに

今回、ODレーティングについて解説を行った。offenceとdefenceのレートを算出する方法はMasseyの方法の時にも行ったので、その結果と今回の結果を見比べてみても面白いかもしれない。