はじめに

この記事では、レーティングシステムである、Markovモデルを紹介する。

そして、この方法を使ってロケットリーグのレーティングを求めてみる。

Markovモデル

Markovモデルは名前の通り、Markov連鎖をもとに考えられたモデルである。

まず初めに、自分の利用したい試合結果からの統計量$V_{ij}$を考える。
例えば次のようなものが考えられる。

そして、統計量をnormalizationした行列$N_{ij}$を作成する。

N_{ij} = \frac{V_{ij}} {\Sigma_j V_{ij}}

行列Nに次のような行が残っている場合は、行列の大きさnを利用して次のように変換する。

\text{if } N_{ij} = 0 (j=1..n) \text{ then } N_{ij} \rightarrow \frac{1}{n}

このようにしてできた行列を$S_{\alpha_0}$とする。そのほかの統計量に関しても同様に$S_{\alpha_1}$、$S_{\alpha_2}$...という風に導出し、それぞれの線形結合を次のように取る。

S = \Sigma_j \alpha_j S_{\alpha_j}

この時、

\Sigma_j \alpha_j = 1 (\alpha_j > 0)

また、Sがirreducibleではない場合には、次のような変換を施すことでSをirreducibleにする事ができる。

S \rightarrow \beta S + \frac{1 - \beta}{n} E (0\le\beta\le1)

ここまで出来たらあとは、

S^{T} \vec{r} = \vec{r}

という固有値問題を解けば、レート$\vec{r}$が求まる。

いつもの通り、ロケットリーグチャンピオンシリーズのデータ(シーズンX North America GroupA)を使ってレートを導出してみる。

今回はこれらの統計量を利用することにした。

これらのデータを用いてレートを算出すると次のようになった。

今回のMarkovの方法は、自分の好きな統計量を組み合わせることができるので、とても汎用的であると感じた。
次回は、このMarkovの方法の一種であるPage Rankのモデルについて触れようと思う。