Swiftで以下のコードはコンパイルエラーになります。
Any型がEquatableに準拠していないというのが理由です。

let dict1: [String: Any] = ["foo": "bar"]
let dict2: [String: Any] = ["foo": "bar"]
print(dict1 == dict2)  // Protocol 'Any' as a type cannot conform to 'Equatable'

そこで、以下のように[String: Any]をNSDictionaryにキャストして比較します。
こうするとコンパイルすることができ、結果はtrueになります。
※この方法では正しい比較ができないケースがあります。次項を参照してください

let dict1: [String: Any] = ["foo": "bar"]
let dict2: [String: Any] = ["foo": "bar"]
print(dict1 as NSDictionary == dict2 as NSDictionary)  // true

SwiftではDictionaryとNSDictionaryをシームレスに相互変換することができます。

そして、NSDictionaryはNSObjectのサブクラスであるため、Equatableに準拠しています。

これによって上記の比較が可能になります。

2023/1/6追記

以下の例は一見trueになりそうですが、結果はfalseになります。

struct Bar: Equatable {
  let bar: Int
}

let dict1: [String: Any] = ["foo": Bar(bar: 1)]
let dict2: [String: Any] = ["foo": Bar(bar: 1)]
print(dict1 as NSDictionary == dict2 as NSDictionary)  // false

BarをHashableに準拠させるとtrueになります。

struct Bar: Hashable {
  let bar: Int
}

let dict1: [String: Any] = ["foo": Bar(bar: 1)]
let dict2: [String: Any] = ["foo": Bar(bar: 1)]
print(dict1 as NSDictionary == dict2 as NSDictionary)  // true

NSDictionary同士の比較はNSObjectProtocolのisEqual(_:)メソッドを使用しています。
このメソッドは2つのオブジェクトのハッシュ値が同じである場合にtrueを返すようになっています。
Hashableに準拠させることでハッシュの比較が正しくできるようになり、期待通りの結果が得られるようになるのだと思います。

参考