実フーリエ級数などを先に勉強するよりも離散フーリエ変換のほうが簡単で役に立つのでこれを先に勉強したほうがいい。やさしいです。オイラーの公式を勉強しておくことー複素数の極座標表示での掛け算、などを知っておく必要がある。https://qiita.com/takaokotani/items/54dd78b20984cdac1f93
まず物理エンジンの動画https://www.youtube.com/watch?v=7hzIhtbxhtM
を見ておくこと。これは複素平面における離散フーリエ変換です。円が表すのは$e^{i\omega t}$です。
離散フーリエ変換の基本になるのは、以下の公式である
Nを整数、nを任意の整数とする。このとき以下がなりたつ。
右辺はデルタで、n=0のときにのみ１であり、それ以外のnではゼロになることを表す。証明は簡単であるーn=0のときは当たり前だし、ゼロでないときはこの和は等比級数であり
$1+e^{i 2\pi n/N}+e^{i 2\pi\times 2/N}+e^{i 2\pi \times 3/N}+...$で等比級数の和の公式からゼロとなることがわかる。書き換えると
となる。これが理解できていればフーリエ変換を理解するのは簡単である。
これは、
と書けるから、nで指定されるN個のベクトル（nを固定して成分を書くと）
の複素内積を考えたときの正規直行性を表している。
これを用いれば、
となることがわかる。
ここで
を導入した。これはfをフーリエ変換した量である。
あとは連続になるように細かく分割するとかいうような話になるだけ。正規直行性の話は一般的な話で正規直行であれば、どんな関数系をとっても良いという話になる。フーリエ変換、級数の基礎はこれに尽きている。
数式、
がどうなってるか考えよう。$n$を連続だと思って描画すると物理エンジンの動画になる。$\hat{f}(n)$の位相と振幅が重要です。$N=1$だとどうなるか、$N=2$だとどうなるか...と考えていけばよいです。
大学などで教えるときにはまずオイラーの公式をしっかり使えるようにしてからこのストーリーで教えるのが早いし有効だと思える。
FastFourierTransformation:
https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-seigyo14