統計物理でスケーリングや臨界指数というのがよくでてくる。なんだろうか？
材料などの第一原理計算を考えるとき、臨界指数を問題にすることはあんまりなくて平均場近似（ランダウ理論）でだいたいは事足りるようにも思うので深入りすることもないと思われるが以下に書いてるぐらいのボヤッとして理解はあったほうがいいかもしれない（というか私の理解が以下程度）。
材料科学でよく使われるフェーズフィールド法の基礎の基礎でもある。二次元系などでゆらぎが大きくて平均場近似でいいんかな？というときには考え直す必要があるかもしれない。
- そもそも自由エネルギー$F$は$\beta$($\beta=1/T$)の複素解析関数である、というのが大前提。複素数$\beta$の関数として考える。外場があれば外場の複素解析関数でもある。相転移するような$F(\beta)$とは$\beta=\beta_c$という分岐点をもつ関数であるということ。分岐点とは特異点の一種である。
- 有限系での自由エネルギー $F(\beta)=-\beta \ln Z(\beta)$を考える。$Z$がゼロでない点では解析的である。有限系では零点は孤立点となり$\ln Z$はそのような零点を除く領域で解析的に定義できる。$\ln Z$の$Z=0$は特異点の一種である「分岐点」であることに注意する。対数的発散をもつ。摩擦などがなくすべてのエネルギー$E_i$に対して $e^{-βE_i}$が正だとすれば、$Z(β)=\sum_i e^{-βE_i}$は正実数の$\beta$に対して$Z(β)>0$である。すなわち正の実軸上（$β＞０$）に零点は現れない。それ以外のところで零点は現れうる（$\beta$の領域を正の実数に限定せず複素関数として考える）。有限系においては$Z(β)=\sum_i e^{-βE_i}$は無限和であるが通常であれば指数関数カットオフが入った関数なのでそんなに変にはならない。これに関連してツェータ関数を分配関数とみなす、みたいな議論は古くからいろいろあるらしい。有限系でも$\ln Z$の$Z=0$は分岐点であるので、カットを適当に入れないといけない。あるいはリーマン面を想像しないといけない。
- 二次相転移などの議論では体積を無限大に持っていったときの均質な物質を考えている。熱力学極限(無限系）では零点が連続分布となり分岐線となる。その分岐線が実軸を切るので、その切った点で臨界挙動が出現する。以下copilotに作らせた強磁性体Lee-Yangモデルの複素平面上での零点。温度を固定して磁場$h$の関数としての$F(h)$を考えている。理屈を理解する助けになる.
。系のサイズに従って零点が増えていき、系無限大で線になり円を形作る（モデルが簡単なので）。それで実軸($\pm h_c$)を切ることになる。$\pm h_c$は複素平面上の零点によりピンチされた点である。 - 実軸上の$h$で見た発散パターン(臨界指数）は有限系において$F(h)=\sum_{H_i} \ln(h-H_i)$となるが、無限系のときにはこの総和が連続になる。どのような濃密さで$\pm h_c$近傍に${H_i}$が集積してくるかが問題になる。Lee-Yangモデルでは比較的単純で${H_i}$は虚軸に沿って一次元的に並んでいるので、連続極限では、$F(h)=\int_{虚軸方向} dH \rho(H) \ln|h-H|$と書ける---(虚軸方向で$\rho(H)=|H-h_c|^\sigma$と書けるがこの$\sigma$が臨界指数と対応。$\sigma=0$が平均場近似.積分すると$F(h)$の$h_c$周りでの振る舞い（分岐の仕方）がわかる）。$F(h_c)$や１回微分（磁気モーメント）は発散しないが２回微分である帯磁率は発散するのが普通の磁性体の場合。リーマン面の局所分岐型は有限個に分類されるーこれを「臨界指数の普遍性」と呼ぶ。（くりこみ群は具体的モデルに関する計算手法であり普遍性の議論とは無関係）。
- 強磁性の平均場近似では「$F(\beta,M)$を$M$の4次関数、ただし$\partial F(\beta,M)/\partial M=0$」として$F(\beta)$を扱う。これは初等的に解ける。しかし複素解析関数$F(\beta)$がどういう性質を持つのかを考えないといけない。この複素解析関数$F(\beta)$は、$\beta=\beta_c$という分岐点をもつ。この分岐点は３つ（対称性があれば２つ）に分岐する分岐点である。複素解析関数$F(\beta)$を考えないといけないーこの点が重要なのだが教科書などでもあまりきちんと強調されていないようにも思える。もし6次関数まで取れば、微分をとると5次方程式になるので5分岐になる。無限次になると無限分岐になる。平均場近似は最初から、分岐点を適当に与える近似である。平均場近似だと「有限系ー＞無限系」でなく、最初から適当に分岐点を与える理論である。
- 臨界指数などというときは、$F(\beta)$の$\beta=\beta_c$分岐点の性質を問題にしている。数値計算においては、有限系のサイズを変えながら$F(\beta)$の変化を計算できる。有限系での計算なので数学的な意味で完全にその分岐性を把握することはできないが、上述の集積の仕方は把握できる。それゆえ分岐性の性質を例えば「分岐性近傍での$F(\beta)$が$(\beta-\beta_c)^\gamma$として振る舞う」として仮定しておくならその$\gamma$を求めることができる、ということになる。
- 「スケーリング仮説を仮定して...」とかよく言われる。$F(h,\beta)$を考える場合なら臨界点周りで、$\propto h^{1/n}(⊿\beta)^{1/m}$と振る舞うということなんだと思う。１変数複素解析関数の分岐点には根形分岐点($z^{1/m}$)と対数型分岐点しかない。「物理的に許されるような２変数複素解析関数としての自由エネルギーの同時分岐点（＝臨界点）はこういう単純な形しかない」というのがスケーリング仮説なんだろう。（簡単そうにも思えるがそんなに簡単でないかもしれない。「多変数複素解析関数の同時分岐点はかなり複雑ですごくムズい」らしい。).
- 相図のうえでの相境界線は自由エネルギーの実パラメータ上の零点というか零点でピンチされた点である。有限系では零点は孤立しており、実軸を避けるようにカットを入れることで実軸上の解析性を保てるが、無限系では零点が実軸に接触(カットによってピンチされる）ことで解析性が破れる。一次相転移の場合、このピンチ点を挟んで自由エネルギーの第一導関数（例えばエントロピーや体積）が不連続に跳ぶ。
- 密度汎関数$F[n,\beta]$は、外場$V(\mathbf{r})$でその応答の$n(\mathbf{r})$を制御する、という形になっている。強磁性のモデルでは磁場$h$で磁気モーメント$M$を制御して$F[M,\beta]$を考えていた。すなわち密度汎関数は通常の熱力学関数の一般化にすぎない。なので、同様の議論が通用する。密度汎関数は通常の熱力学関数と同等で、熱力学の通常の手法によりルジャンドル変換で変数を外場でなくその応答におきかえて作られる（二種の自由エネルギー$F$と$G$が混同している、すみませんーそのうち直す）。密度汎関数においても強磁性などを議論するときには解析性を意識する必要があるかもしれない。
LDA+Uなどで議論になるPWL条件(piece-wise linearlity条件）を議論するときにもすこし意識しておく必要がある。
一次相転移のモデル
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