サンプルコード

sample.css

input[type='time'] {
  position: relative;
}

input[type='time']:after {
  font-family: FontAwesome;
  content: '\f017';
  color: #fff;
  padding: 0 5px;
}
input[type='time']::-webkit-calendar-picker-indicator {
  position: absolute;
  top: 0;
  left: 0;
  right: 0;
  bottom: 0;
  width: auto;
  height: auto;
  color: transparent;
  background: transparent;
  z-index: 100;
}

結果

用途

背景が黒の上にinputタグを置く場合ですね。
ダークモード対応なんかに使えそう。

需要としてはあまりにニッチだし、アイコンを意識的に変えるってことはしないとは思う。
ただ引き出しを持っておくと何かの拍子で使えるかもしれない。