解決方法

storybookの設定ファイルでviteの設定ファイルを読み込む準備をする。
mergeConfigのpluginsを追加するところで、vite-tsconfig-pathsのプラグインを追加する。

.storybook/main.ts

const tsconfigPaths = require("vite-tsconfig-paths").default;

...

async viteFinal(config, { configType }) {
    // Add your configuration here
    const { config: userConfig } = await loadConfigFromFile(
      configType,
      path.resolve(__dirname, "../vite.config.ts")
    );
    
    // ここでtsconfigの情報をマージし、pathaliasを有効にする
    return mergeConfig(config, {
      ...userConfig,
      plugins: [tsconfigPaths()],
    });
  },

参考：https://github.com/storybookjs/builder-vite/issues/85#issuecomment-900831050