位相空間論の自習。距離空間(1) - 距離関数の可視化の続き。
距離空間の同値性の証明に挑戦してみる。数学英語の勉強を兼ねているので、多少英語が混ざります。

Euclidean distance in ℝ²

d_E(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2}

taxicab distance in ℝ²

d_T(\mathbf{p},\mathbf{q})=|p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|

前準備

$p=(0, 0)$として、$q=\left(\epsilon \cos\theta, \epsilon \sin\theta \right)$ とする。

\begin{align}
2|x||y| &= 2 |\epsilon \cos\theta| |\epsilon \sin\theta| \\
&= \epsilon^2 |\cos\theta| |\sin\theta| \\
&= \begin{cases}
2 \epsilon^2 (-\cos\theta) (-\sin\theta) & \left(-\pi \le \theta \lt - \frac{\pi}{2} \right) \\
2 \epsilon^2 \cos\theta (-\sin\theta) & \left( -\frac{\pi}{2} \le \theta \lt 0 \right) \\
2 \epsilon^2 \cos\theta \sin\theta & \left(0 \le \theta \lt \frac{\pi}{2} \right) \\
2 \epsilon^2 (-\cos\theta) \sin\theta & \left(\frac{\pi}{2} \le \theta \lt \pi \right) \\
\end{cases} \\
&= 2 \epsilon^2 |\cos\theta \sin\theta| \\
&= 2 \epsilon^2 \left|\frac{\sin 2\theta}{2}\right| \\
&= \epsilon^2 |\sin 2\theta| \le \epsilon^2
\end{align}

○ in ◇

$\mathbb{R}^2$上の $d_E$ の $\epsilon$ 近傍について考える。
このとき、近傍上のすべての点$(x,y)$は $d_E(q) \le \epsilon$ を満たす領域に含まれる。
この近傍上の点を$N_{\epsilon}(d_E)=\{ \forall(x,y) \mid d_E((0,0), (x,y)) < \epsilon , (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$とする。
また、taxicab distance の近傍を $N_{\delta}(d_T)=\{ \forall(x,y) \mid d_T((0,0), (x,y)) < \delta, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \}$とする。

\begin{align}
d_E(p,q)^2 & \lt \epsilon^2 \\
x^2 + y^2 & \lt \epsilon^2 \\
x^2 + y^2 + 2|x||y| & \lt \epsilon^2 + \epsilon^2 |\sin 2\theta| \\
(|x| + |y|)^2 & \lt \epsilon^2 |1 + \sin 2\theta| \\
|x| + |y| & \lt \epsilon \sqrt{1 + \sin 2\theta} \\
|x| + |y| & \lt \sqrt{2}\epsilon \\
d_T(p,q) & \lt \sqrt{2}\epsilon \\
\end{align}

上記より、$d_T$の $\delta$近傍について、$\delta=\sqrt{2}\epsilon$とすれば、 $d_E\le \epsilon$を満たす点がすっぽり入るので、 $N_{\epsilon}(d_E) \subset N_{\sqrt{2}\epsilon}(d_T)$ となる。

◇ in ○

前準備より、$p=(0, 0)$として、$q=\left(\epsilon \cos\theta, \epsilon \sin\theta \right)$ とすると、 $d_E(p,q) = \sqrt{\epsilon \cos^2\theta + \epsilon \sin^2\theta} = \epsilon \ge \sqrt{|\sin 2\theta|} > 2|x||y|$ である。

\begin{align}
d_T(p,q)^2 & \lt \epsilon^2 \\
(|x| + |y|)^2 & \lt \epsilon^2 \\
x^2 + y^2 + 2|x||y| & \lt \epsilon^2 \lt x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)=2(x^2 + y^2)=2 d_E(p,q)^2 \\
d_T(p,q) &\lt \epsilon \lt\sqrt{2} d_E(p,q) \le \sqrt{2}\epsilon
\end{align}

上記より、$N_{\epsilon}(d_T)=\{ \forall(x,y) \mid d_T((0,0), (x,y)) < \epsilon, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \}$ を満たす領域(一番尖った部分が$(0, \epsilon)$)の場合、$N_{2\epsilon}(d_E)=\{ \forall(x,y) \mid d_E((0,0), (x,y)) < 2\epsilon , (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$ を満たす近傍にすっぽり収まる。

∴ $N_{\epsilon}(d_T) \subset N_{\sqrt{2}\epsilon}(d_E)$

まとめ

上記より、双方は同値の距離である。

Reference

Euclidean distance - Wikipedia
Taxicab geometry - Wikipedia
Equivalence of metrics - Wikipedia
PDF - In Rn we have the notion of (Euclidean) distance defined by deuc(x, y ...