動作環境

Unity 2019.4.24f1

1.事前準備

1.適当なスプライト(パターン画像)を選択
　今回はこちらからお借りしました。
　http://bg-patterns.com/

2.Inspectorから
　・Mesh Type->Full Rect
　・Warp Mode->Repeat
　をそれぞれ選択

※ドット画像の場合は
　・Filter Mode->Point(no filter)
　・Compression->None
　も選択

2.マテリアルの作成

1.ProjectからCreate->Materialを作成
2.ShaderからUnlit->Transparentを選択
3.右側の四角をクリックして、スクロールしたい画像を選択

3.スクリプトの作成

1.ProjectからCreate->C# Scriptを作成
2.以下のコードを記述

BackScroll.cs

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class BackScroll : MonoBehaviour
{
    private Renderer rend;

    [SerializeField]
    private float m_speed;

    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    {
        rend = GetComponent<Renderer>();
    }

    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        //自動でスクロール
        float x = Mathf.Repeat(Time.time * m_speed, 1);
        Vector2 offset = new Vector2(x, 0);

        rend.sharedMaterial.SetTextureOffset("_MainTex", offset);
    }
}

4.スプライトの表示

1.HierarchyからCreate Emptyを作成
2.Add ComponentからSprite Rendererを選択
3.マテリアルをドラッグして適用
4.Sprite Rendererから
　・Sprite->スクロールしたい画像
　・Draw Mode->Tiled
　・Size->画面に合うサイズ
　をそれぞれ選択
5.スクリプトをアタッチしてSpeed(変数)に適当な数字を入れる

5.完成

これで自動的にスクロールするようになります。
Sprite Rendererにこのような警告が表示されることがありますが、気にしなくても動くので大丈夫です。

おまけ

画像を座標軸でスクロールしたいときは以下のコードを追加するとできます。
これらはスクリプトで動かしているので応用しやすいです。いろいろできると思うので試してみてください。

BackScroll.cs

        //座標軸でスクロール
        float moveX = transform.position.x * m_speed;
        float x = Mathf.Repeat(moveX, 1);

参考サイト