追記
Python版も書いた。
国土地理院の標高タイルをPythonで取得する - Qiita

1. 地理院タイルについて

1.1. 概要

タイル座標を指定して特定のURLにリクエストを投げると、地図画像や標高など様々な種類のタイルを取得することができる。URLはタイルの種類ごとに異なり、一覧は地理院タイル一覧で確認できる。

1.2. 標高タイル

名前の通り各地点の標高が記載されたタイルで、仕様は標高タイルの詳細仕様に記載されている。
それぞれのタイルは$256 \times 256$ピクセルで、テキスト形式とPNG形式が提供されているが、以下では簡単のためテキスト形式を扱う。

注意点

単に標高がコンマ区切りで記載されているだけだが、標高値が存在しない画素（海など）は「e」の文字が入っていることに注意。
地理院タイル一覧をみると、DEM5A, DEM5B, DEM10B, DEMGMなど複数種類の標高タイルが提供されている。それぞれ対応するズームレベルや測量方法・精度が異なるため、標高値についてを読んで適切なものを選択すること。
東方向がX、南方向がYになっており、ディスプレイの座標系と相性が良い

2. 実装

Fetch APIを利用して下記のようなfetchTile関数を使うと扱いやすい。

コンマ区切りのテキスト形式で取得したレスポンスを改行コードで行に分割
各行はさらにコンマで分割
標高の数値はFloatへ変換
「e」文字（海など）を標高0[m]に変換

などの前処理を行い、二次元配列としてタイルを取得できるようにしている。

function fetchTile(coord) {
    return new Promise(resolve => {
        fetch(`https://cyberjapandata.gsi.go.jp/xyz/dem/${coord.z}/${coord.x}/${coord.y}.txt`)
            .then(response => response.text())
            .then(text => text.split("\n"))
            .then(rows => rows.slice(0, rows.length - 1)) // Last row: empty
            .then(rows => rows.map(r => r.split(",").map(d => d === "e" ? 0 : parseFloat(d)))) // e: sea
            .then(data => resolve(data))
            .catch(error => {throw error});
    });
}

この実装ではDEM10Bの標高タイル（対応するズームレベルが0-14ともっとも広い）を取得しているが、必要に応じてURLの部分を変更（あるいはfetchTileの引数で指定できるよう修正）すれば良い。

3. タイルの取得方法

3.1. `fetchTile`関数の使い方

タイル座標を先述のfetchTile関数に与え、以下のようにする。

const nabewariTile = {z: 13, x: 7262, y: 3232}; // 鍋割山のタイル座標
fetchTile(nabewariTile).then(d => {
    // dを利用
});

3.2. タイル座標の調べ方

(1) 目視で確認

地図上でタイル座標を確認したければタイル座標確認ページが便利。
例えば鍋割山は

となっている。

(2) 緯度経度から計算

ある地点の緯度経度を指定して、その地点が属するタイル座標を知りたい場合、以下のような関数を用意する。

function getTileCoords(lat, lon, zoom) {
    const xTile = parseInt(Math.floor((lon + 180) / 360 * (1 << zoom)));
    const yTile = parseInt(Math.floor((1 - Math.log(Math.tan(lat * Math.PI / 180) + 1 / Math.cos(lat * Math.PI / 180)) / Math.PI) / 2 * (1 << zoom)));
    return { "z": zoom, "x": xTile, "y": yTile };
}

以上