解決？
2024年11月29日にJineon Baekさんが、ソファ問題を解決したとする論文を発表したらしい1。それによると、最大は1992年にジョセフ・ガーバーさんが見つけた図形で、値は2.2195...となる。
論文は119pにわたり、もちろん英語で書かれているので、理解するのは骨が折れそう。
そこで、ガーバーさんの前に、1968年ジョン・ハマーズレイさんが発見した、いわゆる受話器型の元祖の図形をみていく。
受話器型の図形
$1 \times \frac{4}{\pi}$の長方形の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、直径$\frac{4}{\pi}$ の半円をくりぬいた図形。面積は、 $\frac{\pi}{2} + \frac{2}{\pi} \approx 2.207416$となる。
ふと、数学的証明があるのかなと思った。wikipedia2によると、ココを参照のよう。p.84のAppendix IV Problems の Problem 8に以下の通り書いてある。
Problem 8. A long passage of unit width has a right-angled bend in it. A flat rigid plate of area A (always kept flat on the floor) can be manoeuvred from one end of the passage to the other. Prove that $A<2\sqrt{2}$. Show also that, if the plate has a suitable shape (to be determined), we may have
$$ A = \frac{\pi}{2} + \frac{2}{\pi}. $$
Is this the largest possible value for A?
翻訳すると（by DeepL）
単位幅の長い通路が直角に曲がっている。 面積Aの平らな剛体板（常に床に平らに置いておく）を通路の端から端まで動かすことができる。 このとき、$A<2\sqrt{2}$であることを証明せよ。 また、板が適当な形をしていれば（これから決める）、Aの式が成り立つことを示せ。
これはAの取りうる最大の値か。
どうやら、数学的証明が乗っているわけではなかった。
もうひとつのwikiリンク3では、Hammersley's Sofaとして、
Hammersley showed the the largest area is at least p/2 + 2/p via the following:
The region consists of two quarter-circles on either side of a 1 by 4p rectangle from which a semicircle of radius 2/p has been removed.
コンピュータで描画された図があった。Gerver's Sofaでは、Givenのあとに数式がズラーっとあったが、ハマーズレイのソファーは数学的証明というより、発見されたということなのだろうか。
その後も、ハマーズレイのソファーが通路に引っかからないという証明は検索しても見つからなかった。まあ、GIFでみれば一目瞭然なのだろうけど、もしかしたら内側の角が干渉してるんじゃないか？とか心配になるのは私だけだろうか？