FORTH ベーシックマスター Lev 24 ー ニュートン法による根の探索

本章では、**ニュートン法（Newton-Raphson法）**をFORTHで実装し、非線形方程式の解（ゼロ点）を反復計算で求める方法を学ぶ。

ニュートン法の原理

関数 ( f(x) = 0 ) の解を求めたいとき、初期値 ( x_0 ) から以下の式で反復する：

$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

この式を繰り返すことで、解 ( x ) に収束する。
例えば ( f(x) = x^2 - 2 ) の場合、解は ( \sqrt{2} ) である。

FORTHでの実装方針

FORTHでは、関数やその導関数を別ワードとして定義し、DO LOOP による反復で更新を行う。

コード例：平方根を求めるニュートン法

\ ニュートン法による平方根の近似
\ f(x) = x^2 - a の根を求める

FVARIABLE a        \ 目標値 a
FVARIABLE x        \ 現在の近似値 x
VARIABLE iter      \ 反復回数

: f(x) ( f: x -- f: fx )  \ f(x) = x^2 - a
   FDUP F*                \ x^2
   a F@ F- ;              \ x^2 - a

: f'(x) ( f: x -- f: f'x ) \ f'(x) = 2x
   2e F* ;

: newton-step ( f: x -- f: x' )
   FDUP                   \ x x
   FDUP f(x)              \ x x f(x)
   FSWAP f'(x)            \ x f(x) f'(x)
   F/                     \ x f(x)/f'(x)
   F- ;                   \ x - f(x)/f'(x)

: newton ( f: x0 -- f: root )
   0 iter !               \ カウンタ初期化
   BEGIN
      FDUP x F!           \ 現在の値を保存
      newton-step         \ 次の値を計算
      iter @ 1+ iter !    \ 反復回数を更新
      FDUP x F@ F- FABS   \ |x_new - x_old|
      1e-10 F<            \ 収束判定
   UNTIL
   CR ." Root = " FDUP F.
   CR ." Iterations = " iter @ . ;

実行例

2e a F!     \ a = 2
1e newton   \ 初期値 x0 = 1

出力例

Root = 1.4142135623731
Iterations = 5

コード解説

セクション	内容
f(x)	目的関数を定義。ここでは x^2 - a
f'(x)	導関数を定義。ニュートン法ではこれが必須
newton-step	1回分の反復を行うステップ
newton	ループで繰り返し、差分が閾値以下で停止
iter	収束に要したステップ数を確認するための変数

改良課題

f’(x)が0に近い場合にエラーを防ぐため、除算前にチェックを追加する。

: newton-step ( f: x -- f: x' )
   FDUP                   \ x x          ← 現在値を複製
   FDUP f(x)              \ x x f(x)     ← f(x) を計算
   FSWAP f'(x)            \ x f(x) f'(x) ← f'(x) を計算（スタック順整列）

   FOVER FABS 1E-12 F< IF \ f'(x) が極小なら発散を防ぐ
      ." Derivative too small!" CR
      FDROP FDROP FDROP
      0E EXIT
   THEN

   F/                     \ x f(x)/f'(x)
   F- ;                   \ x - f(x)/f'(x)

最大反復回数を設定し、収束しない場合に警告を出す。

1000 MAX-ITER !    \ 例：1000回まで
...
: newton ( f: x0 -- f: root )
     ...
      FDUP x F@ F- FABS   \ |x_new - x_old|
      1E-10 F<            \ 収束判定
      iter @ MAX-ITER @ >= OR  \ または回数上限
   UNTIL
   ...

複数初期値を試すように拡張し、局所解の違いを観察する。