ラプラス変換を信号処理の観点から理解する

フーリエ編はこちら

1. ラプラス変換とは？

ラプラス変換は，フーリエ変換の一般化です．

ラプラス変換は，時間領域（t軸）で定義された関数を複素数平面の周波数領域（s軸）に変換する手法です．この変換により，微分方程式の解を求める際に便利な形式に変換されます．

ラプラス変換は次のように定義されます：

 \mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt

ここで，

よってフーリエ変換に実部$ \sigma $を加えたものがラプラス変換です．
その代わり，範囲が$ [0, \infty) $となります．

$e^\sigma$があると$\sigma$は[0, \infty)の範囲より，$\lim_{\sigma → 0}e^\sigma = 0$よりラプラス変換の値が収束する．

フーリエ変換の時は収束するかどうかが問題になるが，ラプラス変換は収束するため，フーリエ変換よりも広い範囲で使われる．

ラプラス変換にはいくつかの重要な性質があります．これらの性質を理解することで，信号処理の応用に役立ちます．

 \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)

 \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)

 \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) \, d\tau \right\} = \frac{F(s)}{s}

ラプラス変換はシステムの伝達関数 $ H(s) $ を求めるために使用されます．伝達関数はシステムの入力と出力の関係を表すもので，次のように定義されます：

 H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}

ここで，

システムの安定性を評価するために，伝達関数 $ H(s) $ の極（ポール）を調べます．ポールがすべて左半平面にある場合，システムは安定です．

インパルス応答 $ h(t) $ は，システムの伝達関数 $ H(s) $ を逆ラプラス変換することで得られます．ステップ応答は，ステップ関数を入力としたときのシステムの応答で，インパルス応答を積分することで求められます．

1次RC回路の伝達関数を求める例を考えます．この回路の微分方程式は次のようになります：

 \tau \frac{dV_{out}(t)}{dt} + V_{out}(t) = V_{in}(t)

ここで，$ \tau = RC $ です．この微分方程式のラプラス変換をとると：

 \tau (s V_{out}(s) - V_{out}(0)) + V_{out}(s) = V_{in}(s)

初期条件 $ V_{out}(0) = 0 $ として解くと：

 V_{out}(s) = \frac{V_{in}(s)}{\tau s + 1}

これにより，伝達関数は：

 H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}

ラプラス変換は信号処理において強力なツールであり，システムの挙動を周波数領域で解析するのに役立ちます．特に，システムの安定性の評価や応答解析において重要です．基本的な性質と応用を理解することで，複雑なシステムの解析がより容易になります．