Kawazoe(@riverplus)さんのCodeIQの問題です。
元の問題と解説のページ(PDF)がリンク切れしてしまいましたが、
こちらから問題を見ることができます。解答もあります。
->https://oraclesqlpuzzle.ninja-web.net/kyoupro-old/kyoupro-04-001.html
Kawazoeさんの別解の解説が見つかりました。
->https://riverplus.hatenablog.com/entry/2015/08/07/224228
こちらにも情報があります
->https://posfie.com/@riverplus/p/LLnPaa8

n桁（nは偶数）の数字を、上位半分の桁と下位半分の桁に分けて
（最上位が0になるときは0を除く）新しい数字を作り、
それぞれを二乗して足し合わせると元の数字に戻る場合がある。
n=6の時はただ一つあてはまる数字を求める
n=10の時は、あてはまる数字の総和を求める
という問題です。

求める数字が　b*10^k+a (k=n/2)　で表される場合
b^2+a^2=b*10^k+a->a*(a-1)=b*(10^k-b)　ですので
10^(k-1)<=b<10^k　の範囲で　b*(10^k-b)　の平方根をとり
（素因数分解が正攻法かとも思いますが）
その切り捨てと切り上げの積が　b*(10^k-b)　となれば切り上げの数字が　a　で
b^2+a^2　が求める数字です。

#julia ver 1.41,1.53,1.11.6

function solve(n,a)
    n1 = div(n,2)
    sum = 0
    for i in 10^(n1-1) : 10^n1-1
        x = i*(10^n1-i)
        x1 = Int(ceil(sqrt(x)))
        if x1*(x1-1) == x
            sum += i^2 + x1^2
        end
    end
    s = a == sum ? "ok " : "no "
    println(s,sum) 
end

solve(6,990100)
solve(10,29901173703)

Prologも同じ方針で書きました。

%SWI-Prolog ver 7.42,7.64,9.29
%:-initialization(start).   %ideone,Online Prolog Compiler
%start.

fn(T,T,R,R).
fn(T,I,R1,R):-
   X is I*(T-I),X1 is ceil(sqrt(X)),
   (X=:=X1*(X1-1)->R2 is R1+I^2+X1^2;R2=R1),I1 is I+1,fn(T,I1,R2,R).

solve(N,R):-N1 is N div 2,T is 10^N1,F is 10^(N1-1),fn(T,F,0,R),!.

start:-f(N,A),(solve(N,R)->(R==A->Str=" ok  ";Str=" no  ");
    write(fail)),write(" "),write(Str),writeln(N->R),fail.
start.

f(6,990100).
f(10,29901173703).