交差確率と組換確率

2つのマーカー間で平均1回交差(cross over)が起こる状況を考える。この状況において2つのマーカーについて組み換え(recombination)が起こる率は、2つのマーカー間での交差が奇数回起こることの合計になる。

ポアソン分布の確率密度関数は

P(X, \lambda) = \frac{\lambda^Xe^{-\lambda}}{X!}

なので、求める確率は

\begin{align}
P_{odd} &= \sum_{X=1,3,5 \cdots}P(X,\lambda)
\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} + \frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{3!} + \frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{5!} \cdots  \\
&=e^{-\lambda}(\lambda+\frac{\lambda^3}{3!}+\frac{\lambda^5}{5!} \cdots)
\end{align}

ここで、$e^\lambda$と$e^{-\lambda}$のマクローリン展開より

\begin{align}
e^{\lambda} &= \frac{\lambda^0}{0!} + \frac{\lambda^1}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!}+ \frac{\lambda^2}{3!}  \cdots\\
&= 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!}+ \frac{\lambda^3}{3!}  \cdots\\
\\
e^{-\lambda} &= \frac{(-\lambda)^0}{0!} + \frac{(-\lambda)^1}{1!} + \frac{(-\lambda)^2}{2!}+ \frac{(-\lambda)^2}{3!}  \cdots\\
&= 1 - \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} - \frac{\lambda^3}{3!}  \cdots\\
\end{align}

差を取ると

$$
e^{\lambda} - e^{-\lambda} = 2\lambda + 2\frac{\lambda^3}{3!} + 2\frac{\lambda^5}{5!} \cdots\
$$

両辺2で割って$e^{-\lambda}$をかけて

$$
e^{-\lambda}\frac{e^{\lambda} - e^{-\lambda}}{2} = e^{-\lambda}(\lambda + \frac{\lambda^3}{3!} + \frac{\lambda^5}{5!}\cdots)\
$$

$$
P_{odd} = \frac{1-e^{-2\lambda}}{2}
$$

Rで計算すると

> oddPois <- function(x) (1-exp(-2*x))/2
> oddPois(1)
[1] 0.4323324