n進数から10進数への変換・10進数からn進数への変換

n進数から10進数への変換・10進数からn進数への変換について、具体例付きで解説していきます。コンピュータや基本情報・応用情報午前問題の基礎となる部分です。

コンピュータには、主に２進数が使われているということや、2進数や16進数の数え方については、基礎のため理解しているという前提で話を進める。

ここでは、n進数を10進数へ、n進数を10進数へ変換する方法を説明していく。

2進数1010を10進数へ

ここでn進数から10進数に変換する際の公式的なものを紹介。

	1000の位	100の位	10の位	1の位	.	小数第一位	小数第二位	少数第三位
n進数	1	0	1	0	.	0	0	0
n進数への乗数	n³	n²	n¹	n⁰		n∖1	n²∖1	n³∖1

n進数を10進数へ変換する際は、上の表のように桁に合わせて数字をかけていき、それぞれの積を全て足し合わせる。そうするとその数は10進数になっている。

したがってこの問題では

0(1の位)2⁰+1(10の位)2¹+0(100の位)2²+1(1000の位)2³

となる。よって、2進数1010を10進数へ変換すると10になる。

表ではn進数への乗数をn⁰などとしているように、8進数の場合はnに8が入る。その後は同じように積を求め、全て足し合わせれば10進数の値が出る。

また小数点も出てくる値では、表のように分数をかける必要がある。その後積を求めて足し合わせていくことは同じだが、小数部と整数部は分けて計算しなければならない。例えば、整数部で14、小数部で2が出た場合、10進数に直すときは

となる。

10進数をn進数へ変換する方法は、二通りあるが、ここでは一通りのみ紹介する。

10進数11.25を2進数へ

10進数からn進数への変換も、整数部と小数部を分けて考える。
10進数からn進数へ変換する際の公式的なものはこれ。(整数部)
ここで、aは最初の10進数、a,b,cは商を表し、d,e,fはあまりを表す。

このとき、10進数xを2進数に変換するとfedとなる。(かけている訳ではなく、隣り合わせで書いているだけ。 101 などのような感じ。)

つまり、最初の10進数を、変換する進数で商が0になるまで割り続け、あまりを最後から順に書いたものがn進数、ということである。

続いて、小数部のn進数の求め方。
ここで、xは最初の10進数、a,b,cは積を表す。

このとき、10進数xを2進数に変換するとabcとなる。
こちらは、2進数にする際は最初から順に書いていく。また、積が1を超えた場合、nにかける際は整数部を0として計算し、2進数で表す際はそのまま1をかく。

どういうことか詳しく説明。

例えば、10進数0.375を2進数に直す際、

式の途中で、積が1を超える。

このとき次は、

したがって、まとめると次のようになる。

このとき、2進数に直す際はそのまま積の値を取り出すので、10進数0.375を2進数に直すと、0.011になる。ということである。

それでは続いて、10進数11.25を2進数へ変換していく。

まず整数部から求める。

より、1011である。

小数部は、

したがって、0.01である。

小数部と整数部を足し合わせれば良いので、10進数11.25を2進数に変換すると

となる。

n進数の変換についてはここまで。2進数から8進数に、16進数から2進数にする方法などもあるが、必ず理解しておかなければならない訳ではない。n進数から10進数、10進数からn進数へ変換する方法さえ知っていれば、計算量が増えるだけで解くことは出来る。

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