はじめに

前回，フェルマーの最終定理が成り立たないときの自然数 $a,b$ が互いに素であることを示し，フライ曲線が楕円曲線になることを示した。。。と思っていた。実は，動画を投稿した後「楕円曲線の定義とマッチしていない」というコメントをいただいた（動画はこちら）。そこで，今回はフライ曲線が楕円曲線になることを，定義にマッチする形で説明する。

(9月8日)注意：楕円曲線の定義を変更したので，以下の議論の必要は無くなった。しかし，戻す場合もあるので残しておく。

定義やら定理やら

フェルマーの最終定理

自然数 $n≥3$ に対して
a^n+b^n=c^n
を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない

フライ曲線

フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すると，(1)を満たす $a,b,c$ が存在する。このとき曲線
y^2=x(x-a^n)(x+b^n)
をフライ曲線と呼ぶ。

楕円曲線

曲線が楕円曲線であるとは，$y^2=x^3+Ax+B$ と表され，(右辺)=0が重根を持たない。

前回の記事での不十分な点

[1]フライ曲線は $x^2$ の項がある
[2] $x^2$ の項をなくした場合に重根をもたないことを示していない

フライ曲線が楕円曲線である説明

[1] x^2 の項を消す。

フライ曲線の右辺を展開し，3乗でまとめると

y^2=x^3+(b^n-a^n)x^2-a^n b^nx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \\
\quad\quad\quad\quad\quad=\left(x+\frac{b^n-a^n}{3}\right)^3-3\left(\frac{b^n-a^n}{3}\right)^2x-\left(\frac{b^n-a^n}{3}\right)^3-a^nb^nx

となる。ここで $X=x+\frac{b^n-a^n}{3}$ と置くと, ($x=X-\frac{b^n-a^n}{3}$より)$y^2=X^3+AX+B$ の形に表せる。

[2]重根をもたない

$x(x-a^n)(x+b^n)=0$ の解 $$0,a^n,-b^n$$ は$a,b$ が自然数であることから重根とならない。このとき，$X=x+\frac{b^n-a^n}{3}$ より$$\frac{b^n-a^n}{3},a^n+\frac{b^n-a^n}{3},-b^n+\frac{b^n-a^n}{3}$$ は $X^3+AX+B=0$ の解であり重根とならない。

[1],[2] よりフライ曲線は楕円曲線となる。

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前回の記事：フェルマーの最終定理と互いに素