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@simanezumi1989

フライ曲線が楕円曲線である説明

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はじめに

前回,フェルマーの最終定理が成り立たないときの自然数 $a,b$ が互いに素であることを示し,フライ曲線が楕円曲線になることを示した。。。と思っていた。実は,動画を投稿した後「楕円曲線の定義とマッチしていない」というコメントをいただいた(動画はこちら)。そこで,今回はフライ曲線が楕円曲線になることを,定義にマッチする形で説明する。

(9月8日)注意: 楕円曲線の定義を変更したので,以下の議論の必要は無くなった。しかし,戻す場合もあるので残しておく。

定義やら定理やら

フェルマーの最終定理

自然数 $n≥3$ に対して

a^n+b^n=c^n

を満たす自然数 $a,b,c$ は存在しない

フライ曲線

フェルマーの最終定理が成り立たないと仮定すると,(1)を満たす $a,b,c$ が存在する。このとき曲線

y^2=x(x-a^n)(x+b^n)

をフライ曲線と呼ぶ。

楕円曲線

曲線が楕円曲線であるとは,$y^2=x^3+Ax+B$ と表され,(右辺)=0が重根を持たない。

前回の記事での不十分な点

[1]フライ曲線は $x^2$ の項がある
[2] $x^2$ の項をなくした場合に重根をもたないことを示していない

フライ曲線が楕円曲線である説明

[1] x^2 の項を消す。

フライ曲線の右辺を展開し,3乗でまとめると

y^2=x^3+(b^n-a^n)x^2-a^n b^nx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \\
\quad\quad\quad\quad\quad=\left(x+\frac{b^n-a^n}{3}\right)^3-3\left(\frac{b^n-a^n}{3}\right)^2x-\left(\frac{b^n-a^n}{3}\right)^3-a^nb^nx

となる。ここで $X=x+\frac{b^n-a^n}{3}$ と置くと, ($x=X-\frac{b^n-a^n}{3}$より)$y^2=X^3+AX+B$ の形に表せる。

[2]重根をもたない

$x(x-a^n)(x+b^n)=0$ の解 $$0,a^n,-b^n$$ は$a,b$ が自然数であることから重根とならない。このとき,$X=x+\frac{b^n-a^n}{3}$ より$$\frac{b^n-a^n}{3},a^n+\frac{b^n-a^n}{3},-b^n+\frac{b^n-a^n}{3}$$ は $X^3+AX+B=0$ の解であり重根とならない。

[1],[2] よりフライ曲線は楕円曲線となる。

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前回の記事:フェルマーの最終定理と互いに素

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simanezumi1989
大学時代に微分方程式の定性的理論に関する研究が国際誌に掲載せれたことが自慢です。

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