なぜ必要？

XXX.example.com の XXX 部分によって挙動を変える、つまりサブドメインをパラメータにしたかった。

普通にCloudfront + API GatewayにしてしまうとHostヘッダはAPI Gatewayのもの（xxxxxxx.execute-api.ap-northeast-1.amazonaws.com）になってしまいます。

これに対し、Cloudfrontに来たHOSTをAPI Gatewayに横流ししてみました。
作業的にはCloudfrontのWhitelist HeadersにHOSTを入れれば解決か？と思ったのですが、これだとAPI Gateway側で証明書検証できず500番台エラーが返ってきてしまいます。。。

ちょっと手こずったので解決方法を残しておきます。

解決の大まかな流れ

Cloudfrontに来たHOSTをAPI Gateway側に流す
HOSTそのままではAPI Gatewayに受け入れてもらえないのでHOSTはAPI Gatewayの値に書き換えつつX-FORWARDED-HOSTにアクセス元のHOSTを載せる

1. Cloudfrontに来たHOSTをAPI Gateway側に流す

CloudfrontのWhitelist Headersに値設定するだけです。
以下の2つを設定してください。

HOST
X-FORWARDED-HOST（下記スクリプトと矛盾なければヘッダ名は自由です）

2. HOSTそのままではAPI Gatewayに受け入れてもらえないのでHOSTはAPI Gatewayの値に書き換えつつX-FORWARDED-HOSTにアクセス元のHOSTを載せる

Lambda@Edgeを使ってオリジンへのアクセス時にヘッダを書き換えます。

exports.handler = async (event, context, callback) => {
    const request = event.Records[0].cf.request;
    const headers = request.headers;
    
    // Hostの値をX-Forwarded-Hostに写す
    headers['x-forwarded-host'] = [{ 
        key: 'X-Forwarded-Host', 
        value: headers.host[0].value 
    }];
    
    // API GatewayのHOSTに書き換え
    headers['host'] = [{ 
        key: 'Host',
        value: 'pcwldf375g.execute-api.ap-northeast-1.amazonaws.com'
    }];
    
    callback(null, request);
};

このLambdaをCloudfrontのOrigin Request（否Viewer Request！）に設定します。

ここまでできれば受け取り側のLambdaで普通にX-FORWARDED-HOSTヘッダを見ればOKです。めでたしめでたし。