基本のHTMLとCSS

.html

<form>
    <div class="selectbox">
      <p class="selectbox__select">
        <span class="selectbox__select__text">選択してください</span>
      </p>
      <ul class="selectbox__pulldown">
        <li class="selectbox__pulldown__list" param="項目">項目1</li>
        <li class="selectbox__pulldown__list" param="項目2">項目2</li>
        <li class="selectbox__pulldown__list" param="項目3">項目3</li>
        <li class="selectbox__pulldown__list" param="項目4">項目4</li>
        <li class="selectbox__pulldown__list" param="項目5">項目5</li>        
      </ul>
      <input type="hidden" name="selectbox" value="" />
    </div>

    <input type="submit" value="検索">

  </form>

sassファイル

.selectbox{
    display: inline-block;
    zoom: 1;
    position: relative;
    height: 40px;
    font-size: 1.4rem;
    .selectbox__select {
      width: auto;
      height: 40px;
      border: solid #ddd 1px;
      display: inline-block;
      zoom: 1;
      color: #262626;
      text-decoration: none;
      cursor: default;
      margin: 0;
      padding: 10px 10px;
      .selectbox__select__text {
          padding: 0 20px 0 0;
          display: block;
          height: 20px;
          line-height: 20px;
          cursor: default;
      }
    }
    .selectbox__pulldown {
      border: solid #bbb 1px;
      width: auto;
      height: auto;
      position: absolute;
      left: 0;
      top: 28px;
      background: #fff;
      overflow: auto;
      padding: 0;
      z-index: 3;
      .selectbox__pulldown__list {
        width: 100%;
        height: auto;
        border-bottom: solid #bbb 1px;
        padding: 5px 8px;
        display: block;
        &.last-child {
          border: none;
        }
        &:hover, &.selected {
          color: #666;
          background: #eee;
          text-decoration: none;
        }
      }
    }

    /* afterでselectboxの矢印画像を追加 */
    &::after {
      background-image: url(../../images/select-arrow-0.svg); /* ここは自分の好きな画像 */
      background-repeat: no-repeat;
      background-position: center;
      background-size: 100% 100%;
      content: '';
      display: inline-block;
      line-height: 0;
      vertical-align: middle;
      width: 2.14286em;
      height: 100%;
      position: absolute;
      top: 0;
      right: 0;
      pointer-events: none;
    }
  }

mouseoverとmouseoutで自動で表示・非表示

＊　$(セレクタ).find(セレクタ/obj/element)：セレクタ内をfindのカッコ内で選択
＊　.toggle(引数)：引数がtrueで表示、falseで非表示

.js

$('.selectbox').each(function(){ // div.selectboxの数ループ
    var self = $(this);
    var select = $('.selectbox__select',self);
    var pulldown = $('.selectbox__pulldown',self);
    var data = $('input:hidden',self);
    var select_value = $('.selectbox__select__text',select);
    pulldown.hide().children(':last-child').addClass('last-child');
    
    // div.selectboxにmouseover or mouseout
    self.on('mouseover mouseout',function(e){
        // .selectboxから.selectbox__pulldownを探し、hideにする(初期化)
        self.find('.selectbox__pulldown').hide();

        // e.typeでmouseover/mouseoutを判定
        self.find('.selectbox__pulldown').toggle(e.type=='mouseover');
        self.addClass('select_focus');

      e.stopPropagation();
      return false;
    });
    

    $('.selectbox__pulldown__list',pulldown).click(function(){
        // タップされたaタグのテキストを取得
        var text = $(this).text();
        // 表示されるテキストを入れ替える
        select_value.text(text);
        // 選択された項目値をinputタグのvalueにセット
        data.val($(this).attr('param'));
        
        // クラスの削除
        $('.selected',pulldown).removeClass('selected');
        $('.select_focus').removeClass('select_focus');
        $(this).addClass('selected');
        pulldown.hide();
        return false;
    });
});

clickで表示・非表示

.js

$('.selectbox').each(function(){ // selectboxの数ループ
    var self = $(this); // selectbox自身

    // $(セレクタ[, コンテキスト])：引数のコンテキストからセレクタを検索
    var select = $('.selectbox__select',self);
    var pulldown = $('.selectbox__pulldown',self);
    var data = $('input:hidden',self);
    var select_value = $('.selectbox__select__text',select);
    
    // pulldownをhideしてlast-childにclassを追加
    pulldown.hide().children(':last-child').addClass('last-child');
    
    // aタグ(.select)がタップされた時
    select.click(function(e){
      // pulldown hide(複数ある場合に役立つ)
      $('.selectbox__pulldown').hide();
      // クリックされたpulldownを表示
      pulldown.show();
      $(this).addClass('select_focus');
      
      // 親要素へのイベントバブリングをキャンセル
      e.stopPropagation();
      return false;
    });
    

    $('.selectbox__pulldown__list',pulldown).click(function(){
        // タップされたaタグのテキストを取得
        var text = $(this).text();
        // 表示されるテキストを入れ替える
        select_value.text(text);
        // 選択された項目値をinputタグのvalueにセット
        data.val($(this).attr('param'));
        
        // selectedクラスの削除
        $('.selected',pulldown).removeClass('selected');
        // select_focusクラスの削除
        $('.select_focus').removeClass('select_focus');
        // 選択された要素にclassを追加
        $(this).addClass('selected');

        return false;
    });
    
    // bodyをクリックしてpulldownを閉じる
    $('body').click(function(){
        $('.select_focus').removeClass('select_focus');
        $('.selectbox__pulldown').hide();
    });
  });

参考資料

技術評論社
http://gihyo.jp/design/serial/01/jquery-site-production/0012

イベントのバブリング (ここら辺まだ理解できていない)
http://www.tam-tam.co.jp/tipsnote/javascript/post5050.html