その量子状態、もつれあっています？

この記事について

かなり、初歩な話です。
2量子系がもつれあう（エンタングル）状態は、後述4つのベル状態で示されます。

• 一方で、ベル状態でない2量子系は、なぜ、もつれ合っていないのか？
• この素朴な疑問について、考察してみたいと思います。

また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。

\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}

ベル状態

下記のとおり、2量子系のもつれ合いは、4つのベル状態で表現されます。

\displaylines{
\ket{B_{00}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}+\ket{11}) 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
\ket{B_{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11}) 
\\
\ket{B_{01}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{10}) 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
\ket{B_{11}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}-\ket{10}) 
\\
}

素朴な疑問

似て非なる、下記はなぜもつれ合いでは無いのでしょうか？

\ket{\psi_{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{11}) 
\ \ \ \ \ \ \ \ 
\ket{\psi_{y}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{01}) 

理由としては、2量子系のテンソル積を1量子系に分解できるからです。
上記２状態は、下記のように、2つの量子状態に分解でき、
それぞれの量子をブロッホ球上で指し示すことができます。

\displaylines{
\ket{\psi_{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}+\ket{11})  
= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1}) \otimes \ket{1} 
= \color{red}{\ket{+} \otimes \ket{1} }
\\

\ket{\psi_{y}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{01})  
= \ket{0} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})  
= \color{red}{\ket{0} \otimes \ket{-} } 
}

なぜ分解できるともつれ合っていないのか？

分解できるからもつれ合っていないよね。で終わらせて見ても良いのですが、、
なぜ分解できるともつれ合っていないのでしょうか？

\ket{\psi_{a}} = a_0\ket{0} + a_1\ket{1}
\ \ \ \ \ 
\ket{\psi_{b}} = b_0\ket{0} + b_1\ket{1}

という状態に対し、２量子系は、下記のように表現できます。

\ket{\psi_{ab}} = 
a_0b_0\ket{00} + 
a_0b_1\ket{01} +
a_1b_0\ket{10} +
a_1b_1\ket{11} 

上記形式で、冒頭の$\ket{B_{00}}$を表現すると下記のように示せます。

\ket{B_{00}} = 
\frac{1}{\sqrt{2}} \times \ket{00} + 
0 \times \ket{01} +
0 \times \ket{10} +
\frac{1}{\sqrt{2}} \times \ket{11} 

つまり、ベル状態について、確率振幅を整理すると下記のように表現できます。

確率振幅	ket	$\ket{B_{00}}$	$\ket{B_{10}}$	$\ket{B_{01}}$	$\ket{B_{11}}$
$\color{red}{a_0} \color{green}{b_0}$	$ \color{gray}{\ket{00}}$	$1/\sqrt{2}$	$1/\sqrt{2}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$
$\color{red}{a_0} \color{orange}{b_1}$	$\color{gray}{\ket{01}}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$	$1/\sqrt{2}$	$1/\sqrt{2}$
$\color{blue}{a_1} \color{green}{b_0}$	$\color{gray}{\ket{10}}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$	$1/\sqrt{2}$	$-1/\sqrt{2}$
$\color{blue}{a_1} \color{orange}{b_1}$	$\color{gray}{\ket{11}}$	$1/\sqrt{2}$	$-1/\sqrt{2}$	$\color{red}{0}$	$\color{red}{0}$

$\ket{00}$について考えてみると、

• $\color{red}{a_0} \color{orange}{b_1} = 0$ より、$\color{red}{a_0}$と$\color{orange}{b_1}$のどちらかは、$0$
• $\color{blue}{a_1} \color{green}{b_0} = 0$ より、$\color{blue}{a_1}$と$\color{green}{b_0}$のどちらかは、$0$

つまり、4変数中2変数は$0$なはずだが、

• 仮に、$\color{red}{a_0}=0$だとすると、$\color{red}{a_0} \color{green}{b_0} = 1/\sqrt{2}$が成り立たない。
• 仮に、$\color{green}{b_0}=0$だとすると、$\color{red}{a_0} \color{green}{b_0} = 1/\sqrt{2}$が成り立たない。
• 仮に、$\color{orange}{b_1}=0$だとすると、$\color{blue}{a_1} \color{orange}{b_1} = 1/\sqrt{2}$が成り立たない。
• 仮に、$\color{blue}{a_1}=0$だとすると、$\color{blue}{a_1} \color{orange}{b_1} = 1/\sqrt{2}$が成り立たない。

つまり、２量子がもつれ合った状態としては成り立つのだが、

\ket{\psi_{a}} = \color{red}{a_0}\ket{0} + \color{blue}{a_1}\ket{1}
\ \ \ \ \ 
\ket{\psi_{b}} = \color{green}{b_0}\ket{0} + \color{orange}{b_1}\ket{1}

という、単一量子状態で表現しようとすると、確率振幅が決めきれない状態。
つまり、ブロッホ球で表現できない状態。が、２量子系のもつれ合い。と理解できます。

おまけ

最後におまけ程度で触れておこうと思います。
下記は、もつれあっているでしょうか？

\ket{\psi_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{11}-\ket{00}) 
\ \ \ 
\ket{\psi_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{10}-\ket{01}) 

似て非なる形ですが、マイナスをくくりだすとベル状態となります。
この先頭のマイナスは、相対位相（$\ket{0}と\ket{1}$の大小）には無関係で、
式全体に係るグローバル位相なので、観測上無視されます。（詳細は、こちらの記事で）

\displaylines{
\ket{\psi_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{11}-\ket{00}) =  \color{red}{-}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{00}-\ket{11}) = \color{red}{-}\ket{B_{10}}
\\
\ket{\psi_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{10}-\ket{01}) =  \color{red}{-}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{01}-\ket{10}) = \color{red}{-}\ket{B_{11}}
}

よって、上記はベル状態なのでもつれあっています。