この記事について
本稿は、単なる計算メモですので、あまり内容は有りません。（計算過程をメモしています）
X基底（アダマール基底）は、Z基底（計算基底）で下記のように表されるのは良く知られています。
% basic braket
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \right|}
\newcommand{\ketbraket}[3]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \middle| #3 \right\rangle}
% small-size
\newcommand{\bras}[1]{\left\langle {\scriptsize #1} \right|}
\newcommand{\kets}[1]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle}
\newcommand{\brackets}[2]{\left\langle {\scriptsize #1} \middle| {\scriptsize #2} \right\rangle}
\newcommand{\ketbras}[2]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \right|}
\newcommand{\ketbrakets}[3]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \middle| {\scriptsize #3} \right\rangle}
% Matrix
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}
\kets{+} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\kets{-} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{2}}
一方で、Z基底（計算基底）は、X基底（アダマール基底）を用いると
\ket{0} = \frac{\kets{+} + \kets{-}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{1} = \frac{\kets{+} - \kets{-}}{\sqrt{2}}
上記のような、$X→Z、Z→X$の基底の書き換えが、計算上必要なタイミングもあるので、こちらの記事でパウリゲートを各基底で書き下したのと同様に整理しておきたいと思います。
また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。
最初に結論から
Z基底
計算してみると、$Z$基底を$Y$基底で表現すると、$\ket{1}$のときに分母に$i$が付きます。
\displaylines{
\ket{0}
\ \
=
\ \
\frac{\kets{+} + \kets{-}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{i} + \ket{i-}}{\sqrt{2}}
\\
\ket{1}
\ \
=
\ \
\frac{\kets{+} - \kets{-}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{i} - \ket{i-}}{\sqrt{2}i}
}
X基底
$X$基底も、$\ket{0},\ket{1}$での表現はよく見ますが、$Y$基底で書き下すと下記となります。
\displaylines{
\kets{+}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{1-i}{2}\ket{i} + \frac{1+i}{2}\ket{i-}
\\
\kets{-}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{1+i}{2}\ket{i} + \frac{1-i}{2}\ket{i-}
}
Y基底
同様に、$Y$基底も、$\ket{0},\ket{1}$での表現はよく見ますが、$Y$基底で書き下すと下記となります。
\displaylines{
\ket{i}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{0} + i\ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{1+i}{2}\kets{+} + \frac{1-i}{2}\kets{-}
\\
\ket{i-}
\ \
=
\ \
\frac{\ket{0} - i\ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \
=
\ \
\frac{1-i}{2}\kets{+} + \frac{1+i}{2}\kets{-}
}
計算しておく
Z基底
X基底で表す
\kets{+} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\kets{-} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{2}}
|0⟩の計算
\kets{+} + \kets{-} = \frac{\ket{0} + \ket{1} + \ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}{\ket{0}}
右辺の$\ket{0}$について整理すると
\ket{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\kets{+} + \kets{-}) = \frac{\kets{+} + \kets{-}}{\sqrt{2}}
|1⟩の計算
同様に、
\kets{+} - \kets{-} = \frac{\ket{0} + \ket{1} - \ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}{\ket{1}}
右辺の$\ket{0}$について整理すると
\ket{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\kets{+} - \kets{-}) = \frac{\kets{+} - \kets{-}}{\sqrt{2}}
Y基底で表す
\ket{i} = \frac{\ket{0} + i\ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{i-} = \frac{\ket{0} - i\ket{1}}{\sqrt{2}}
|0⟩の計算
\ket{i} + \ket{i-} = \frac{\ket{0} + i\ket{1} + \ket{0} - i\ket{1}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}{\ket{0}}
右辺の$\ket{0}$について整理すると
\ket{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\ket{i} + \ket{i-}) = \frac{\ket{i} + \ket{i-}}{\sqrt{2}}
|1⟩の計算
同様に、
\ket{i} - \ket{i-} = \frac{\ket{0} + i\ket{1} - \ket{0} + i\ket{1}}{\sqrt{2}} = \frac{2i}{\sqrt{2}}{\ket{1}}
右辺の$\ket{0}$について整理すると
\ket{1} = \frac{\sqrt{2}}{2i}(\ket{i} - \ket{i-}) = \frac{\ket{i} - \ket{i-}}{\sqrt{2}i}
X基底
「Z基底で表す」は省略し、Y基底での計算がどうなるかだけ確認しておきます。
Y基底で表す
\kets{+} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\kets{-} = \frac{\ket{0} - \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{0} = \frac{\ket{i} + \ket{i-}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{1} = \frac{\ket{i} - \ket{i-}}{\sqrt{2}i}
|+⟩の計算
\kets{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1})
= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{i} + \ket{i-})+\frac{1}{\sqrt{2}i}(\ket{i} - \ket{i-})\right)
両辺に、$i$を掛けると
i\kets{+} = \frac{1}{2}\left(i\ket{i} + i\ket{i-} + \ket{i} - \ket{i-}\right)
= \frac{i+1}{2}\ket{i} + \frac{i-1}{2}\ket{i-}
右辺の$\kets{+}$について整理すると
\kets{+} = \frac{i+1}{2i}\ket{i} + \frac{i-1}{2i}\ket{i-}
= \frac{-1+i}{-2}\ket{i} - \frac{-1-i}{-2}\ket{i-}
よって、
\kets{+} = \frac{1-i}{2}\ket{i} + \frac{1+i}{2}\ket{i-}
|-⟩の計算
\kets{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - \ket{1})
= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{i} + \ket{i-})-\frac{1}{\sqrt{2}i}(\ket{i} - \ket{i-})\right)
両辺に、$i$を掛けると
i\kets{-} = \frac{1}{2}\left(i\ket{i} + i\ket{i-} - \ket{i} + \ket{i-}\right)
= \frac{i-1}{2}\ket{i} + \frac{i+1}{2}\ket{i-}
以下、$\kets{+}$と同様に、$\kets{-}$について整理すると
\kets{-} = \frac{1+i}{2}\ket{i} + \frac{1-i}{2}\ket{i-}
Y基底
「Z基底で表す」は省略し、Y基底での計算がどうなるかだけ確認しておきます。
X基底で表す
\ket{i} = \frac{\ket{0} + \ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{i-} = \frac{\ket{0} - i\ket{1}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{0} = \frac{\kets{+} + \kets{-}}{\sqrt{2}}
\ \ \ \
\ket{1} = \frac{\kets{+} - \kets{-}}{\sqrt{2}i}
上記を利用し、$\ket{i},\ket{i-}$について、上記の計算と同様に整理をすると下記が得られます。
\ket{i} = \frac{1+i}{2}\kets{+} + \frac{1-i}{2}\kets{-}
\ \ \ \
\ket{i-} = \frac{1-i}{2}\kets{+} + \frac{1+i}{2}\kets{-}
まとめ
あまり内容（意味論）のない議論ですが、計算過程をメモっておきました。
Z基底をX基底で計算したいとか、X基底をZ基底で計算したいというケースがあれば。。
Y基底で計算することはあまり多くない気もしますが、一応メモとして残しております。