この記事について
パウリゲートを各基底で書き下すで示した通り、
パウリ$X$は下記のように$Z$基底、$X$基底を用いて書き下す事ができます。
% basic braket
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\newcommand{\bracket}[2]{\left\langle #1 \middle| #2 \right\rangle}
\newcommand{\ketbra}[2]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \right|}
\newcommand{\ketbraket}[3]{\left| #1 \right\rangle \left\langle #2 \middle| #3 \right\rangle}
% small-size
\newcommand{\bras}[1]{\left\langle {\scriptsize #1} \right|}
\newcommand{\kets}[1]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle}
\newcommand{\brackets}[2]{\left\langle {\scriptsize #1} \middle| {\scriptsize #2} \right\rangle}
\newcommand{\ketbras}[2]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \right|}
\newcommand{\ketbrakets}[3]{\left| {\scriptsize #1} \right\rangle \left\langle {\scriptsize #2} \middle| {\scriptsize #3} \right\rangle}
% Matrix
\newcommand{\tate}[2]{\begin{bmatrix} #1 \\ #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\yoko}[2]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \end{bmatrix}}
\newcommand{\mtrx}[4]{\begin{bmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4 \end{bmatrix}}
X = \ketbra{1}{0} + \ketbra{0}{1}
\\
X = \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-}
$XYZ$は180度回転（反転）でしたが、
上記のような分数ゲート（と呼ぶんですかね？正式名称知りたい。）はどう表現できるでしょうか？
これらの計算方法を確認しておきたいと思います。
また、他の量子コンピュータ関係の他の記事は、下記で紹介しています。
準備
X^2
準備としてアダマール基底で、$X^2$を計算しておきます。
X = \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-}
ですので、
\displaylines{
X^2 = (\ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-}) (\ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-})
\\
= \kets{+}\color{red}{\brackets{+}{+}}\bras{+}
\ \
- \kets{+}\color{blue}{\brackets{+}{-}}\bras{-}
\\
- \kets{-}\color{blue}{\brackets{-}{+}}\bras{+}
\ \
+ \kets{-}\color{red}{\brackets{-}{-}}\bras{-}
}
ここで、$\color{red}{\brackets{+}{+}} = \color{red}{\brackets{-}{-}} = 1$であり、$\color{blue}{\brackets{+}{-}} = \color{blue}{\brackets{-}{+}} = 0$となります。
つまり、同一基底の$ketとbra$の項だけが残り、ほかはすべて0となる。
よって、
X^2 = \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-}
となります。
X^2（違う形で解く）
わかりやすさの為、厳密性は欠きますが、もう少し見やすい形で計算しておくと、
P=\ketbras{+}{+}
\ \ \ \
M=\ketbras{-}{-}
とすると、
\displaylines{
X = P-M となるので、
\\
X^2 = (P-M)(P-M) = PP - PM - MP + MM
}
上述のとおり、$PM=MP= 0$なので、
\displaylines{
X^2 = PP+MM = \kets{+}\brackets{+}{+}\bras{+} + \kets{-}\brackets{-}{-}\bras{-}
\\
= \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-} = I
}
X^3
上記と同様の要領で考えると、
\displaylines{
X^3 = (P-M)(PP+MM)
\\
= PPP + PMM - MPP - MMM
}
ですが、結局中間の項はすべて0となり、残るのは
\displaylines{
X^3 = PPP - MMM
\\
= \kets{+}\brackets{+}{+}\brackets{+}{+}\bras{+} - \kets{-}\brackets{-}{-}\brackets{-}{-}\bras{-}
\\
= \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-} = X
}
X^4
くどいですが、上記と同様に
\displaylines{
X^4 = (P-M)(PPP-MMM)
\\
= PPPP - PMMM - MPPP + MMMM
\\
= PPPP + MMMM
\\
= \ketbras{+}{+} + \ketbras{-}{-} = I
}
整理すると
下記のように整理することができ、$X^n = P + (-1)^n M$となりそうです。
| # | 上記で計算した数式 | わざと書き下すと |
|---|---|---|
| 1 | $X^1 = P-M = X$ | $X^1 = P+(-1)^1M$ |
| 2 | $X^2 = PP-MM = I$ | $X^2 = P+(-1)^2M$ |
| 3 | $X^3 = PPP+MMM = X$ | $X^3 = P+(-1)^3M$ |
| 4 | $X^4 = PPPP-MMMM = I$ | $X^4 = P+(-1)^4M$ |
本題の計算
X^(1/2)を計算する
X基底
X^n = P + (-1)^n M (n = \frac{1}{2})
を計算すればよいので
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}} = P + (-1)^{\frac{1}{2}} M = P + \sqrt{-1} M
\\
= \ketbras{+}{+} \color{red}{\pm i} \ketbras{-}{-}
}
確認しておくと
\displaylines{
(X^{\frac{1}{2}})^2 = (\ketbras{+}{+} \pm i \ketbras{-}{-})^2 = \ketbras{+}{+} +(\pm i)^2 \ketbras{-}{-}
\\
= \ketbras{+}{+} - \ketbras{-}{-} = X
}
Z基底
計算に利用しやすいよう、Z基底（計算基底）でも計算しておきます
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}} = \ketbras{+}{+}\pm i \ketbras{-}{-}
\\
= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})(\bra{0}+\bra{1}) \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})(\bra{0}-\bra{1})
\\
= \frac{1}{2}(\ketbra{0}{0}+\ketbra{0}{1}+\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
\pm \frac{i}{2}(\ketbra{0}{0}-\ketbra{0}{1}-\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
= \frac{1 \pm i}{2}\ketbra{0}{0}+\frac{1 \mp i}{2}\ketbra{0}{1}+\frac{1 \mp i}{2}\ketbra{1}{0}+\frac{1 \pm i}{2}\ketbra{1}{1}
}
よって、
\displaylines{
X^{\frac{1}{2}}\ket{0} = \frac{1 \pm i}{2}\ket{0} + \frac{1 \mp i}{2}\ket{1}
\\
X^{\frac{1}{2}}\ket{1} = \frac{1 \mp i}{2}\ket{0} + \frac{1 \pm i}{2}\ket{1}
}
X^(1/4)を計算する
X基底
X^n = P + (-1)^n M (n = \frac{1}{4})
を計算すればよいので
X^{\frac{1}{4}} = P + (-1)^{\frac{1}{4}}M
$-1$の4乗根が必要なので、複素平面で考えると
\displaylines{
r^4(cos\ 4\theta + i \ sin \ 4\theta) = -1
\\
\therefore r=1,\theta=\frac{\pi}{4}
}
よって、
(-1)^{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}}
故に、
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}} = P + (-1)^{\frac{1}{4}} = P + \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right)M
\\
= \ketbras{+}{+} + \color{red}{\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right)} \ketbras{-}{-}
}
Z基底
こちらも計算に利用しやすいよう、Z基底（計算基底）でも計算しておきます
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}} = \ketbras{+}{+} + \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{i}{\sqrt{2}} \right) \ketbras{-}{-}
\\
= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})(\bra{0}+\bra{1})+ \left( \frac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}} \right) \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}-\ket{1})(\bra{0}-\bra{1})
\\
= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}(\ketbra{0}{0}+\ketbra{0}{1}+\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
+ \left( \frac{\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}} \right) (\ketbra{0}{0}-\ketbra{0}{1}-\ketbra{1}{0}+\ketbra{1}{1})
\\
= \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ketbra{0}{0}
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ketbra{0}{1}
\\
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ketbra{1}{0}
+ \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ketbra{1}{1}
}
よって、
\displaylines{
X^{\frac{1}{4}}\ket{0} =
\frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ket{0}
+ \frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ket{1}
\\
X^{\frac{1}{4}}\ket{1} =
\frac{\sqrt{2}\mp 1 \mp i}{2\sqrt{2}}\ket{0}
+ \frac{\sqrt{2}\pm 1 \pm i}{2\sqrt{2}}\ket{1}
}
まとめ
$X$について、分数ゲート（というのかな？）を計算してみました。
あたりといえば当たり前ですが、$X^{1/4}$という角度回転ゲートの計算で4乗根が必要になるんだ。
という感想です。（まぁ、当たり前ですね。）
とてもニッチな記事ですが、どなたかのお役に立てばと。