https://atlas.hashicorp.com/bento/boxes/ubuntu-16.04
上記のページから、Ubuntu16.04はAtlasに存在するっぽい。

直接Vagrant用のBoxをatlasからダウンロードする - Qiita

この記事を参考に、BoxのダウンロードURLを作成する。

box url: https://atlas.hashicorp.com/bento/boxes/ubuntu-16.04
version: v2.3.0 => /versions/2.3.0
provider: virtualbox => /providers/virtualbox.box

BoxのダウンロードURLは {url}{version}{provider} と組み立てれば良いとのことなので、これらの情報から以下のURLが生成できる。

https://atlas.hashicorp.com/bento/boxes/ubuntu-16.04/versions/2.3.0/providers/virtualbox.box

これでbox addしてみる。

$ vagrant box add ubuntu16.04 https://atlas.hashicorp.com/bento/boxes/ubuntu-16.04/versions/2.3.0/providers/virtualbox.box
==> box: Box file was not detected as metadata. Adding it directly...
==> box: Adding box 'ubuntu16.04' (v0) for provider:
    box: Downloading: https://atlas.hashicorp.com/bento/boxes/ubuntu-16.04/versions/2.3.0/providers/virtualbox.box
==> box: Successfully added box 'ubuntu16.04' (v0) for 'virtualbox'!

Boxをダウンロードできた。

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（2016/11/25 追記）
上記Boxを利用してvagrant upで起動したところ、

$ vagrant up                                                                         (git)-[master]-
Bringing machine 'default' up with 'virtualbox' provider...
==> default: Importing base box 'ubuntu16.04'...
==> default: Matching MAC address for NAT networking...
==> default: Setting the name of the VM: {{ vm.name }}
==> default: Clearing any previously set network interfaces...
==> default: Preparing network interfaces based on configuration...
    default: Adapter 1: nat
    default: Adapter 2: hostonly
==> default: Forwarding ports...
    default: 80 => 8888 (adapter 1)
    default: 22 => 2222 (adapter 1)
==> default: Running 'pre-boot' VM customizations...
==> default: Booting VM...
==> default: Waiting for machine to boot. This may take a few minutes...
    default: SSH address: 127.0.0.1:2222
    default: SSH username: vagrant
    default: SSH auth method: private key
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
    default: Warning: Connection timeout. Retrying...
...

のままssh接続できない状況になってしまっていました。この状況をググってみると、
Vagrant で bento/ubuntu-16.04 を vagrant up すると Connection timeout になってしまう - Qiita
と報告があり、試してみると無事ssh接続できました。ホント有り難いことです！

※確認環境

OS: OS X El Capitan
Vagrant: 1.8.7
VirtualBox: 5.0.30 r112061