Docker 1.11 以上なら
https://github.com/awslabs/amazon-ecr-credential-helper を使うことで、docker-login が普通にECRに対しても認証できます。

今回の方法は、一旦 docker login したあとも、12時間経過したら再度 docker loginを叩かないといけません。
本当になんらかの理由でアップデートできない場合、というのが今回の内容です。

get-login-password を使った方法

aws-cliをv2にあげるのは簡単なのでとりあえずaws-cli2をあげておく
docker 1.7 だと -password-stdin というオプションは存在しないが、こんな感じでいける

docker login --username=AWS --password=`aws ecr get-login-password --profile profile`  --email=shida@example.com 0123456789.dkr.ecr.ap-northeast-1.amazonaws.com

あとは、通常通り docker push や pull できる