コピーするファイルの拡張子はcsv限定となっています。
変更する場合はmain関数のtarget_extを変更する必要があります。

コピーしたファイルのファイル名は、指定したコピー元フォルダを起点とした相対パスのパス区切り文字をアンダーバーに変更したものになります。

import os
import re, shutil
import tkinter.filedialog
import pathlib

def name_savefile_dirname(path):
    file_path = path.replace('/', os.sep) #パスの区切り文字を変換
    org_path = pathlib.Path(org_dir)
    sub_path = pathlib.Path(file_path)
    file_name = sub_path.relative_to(org_path)
    return str(file_name).replace("\\","_")

def copy_files():
    file_list = [] #コピーするファイルのリスト
    filepath_list = [] #コピーするファイルパスのリスト
    for dirpath, dirnames, filenames in os.walk(org_dir): #コピー元のディレクトリを基準にtarget_extで指定した拡張子のファイルをリスト化
        for file in filenames:
            m = re.search(re.escape(target_ext), file) #指定した拡張子のファイルを探す
            if m :
                file_list.append(file) #ファイル名をリストに追加
                filepath_list.append(os.path.join(dirpath, file)) #コピー元ファイルのパスをリストに追加

    for i in range(len(file_list)):
        save_file_path = os.path.join(save_dir, name_savefile_dirname(filepath_list[i])) #コピー先ディレクトリ名とコピー元ディレクトリを付けたファイル名を結合
        shutil.copy2(filepath_list[i], save_file_path) #ファイルをコピー
        print(save_file_path)

if __name__ == '__main__':
    target_ext = '.csv' #コピーするファイルの拡張子
    iDir = os.path.abspath(os.path.dirname(__file__)) #ダイアログ表示の初期ディレクトリ
    org_dir = tkinter.filedialog.askdirectory(initialdir=iDir, title='コピー元のディレクトリ') #コピー元のディレクトリのパス
    save_dir = tkinter.filedialog.askdirectory(initialdir=iDir, title='コピー先のディレクトリ') #コピー先のディレクトリのパス

    copy_files() #メイン関数
    print('finished')