クリーク (Creek) を、5 つのルールセット内蔵でブラウザに実装した。数字はマスの中ではなく格子の「角」に乗っていて、その角に接する（最大 4 つの）マスのうち何個が黒かを表す。黒くないマスは全部つながって 1 本の小川 (creek) をなす。ソルバー内蔵パズル第 48 弾。

デモ: https://sen.ltd/portfolio/creek/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/creek

このパズルには閉じた式がある

紙の角にある数字は、接するマスがちょうど 1 個しかない。つまりその 1 マスを名指ししている。辺の上の数字は 2 マス、内部の数字は 4 マスを見る。角 (i,j) の数字を C(i,j)、マスを x[r][c] とすると

C(i,j) = x[i−1][j−1] + x[i−1][j] + x[i][j−1] + x[i][j]   （盤外の項は落とす）

で、これは盤面の混合 2 階差分そのものだから、包除原理で逆に解ける:

x[r][c] = Σ_{i≤r, j≤c} (−1)^((r−i)+(c−j)) · C(i,j)

**答えは数字の「市松符号付き累和」**である。リポジトリの solveByScan はこの式を 6 行で書いただけのものだ。

全部の角に数字が書いてある盤面を 6×6 / 8×8 / 10×10 で各 600 枚測ると、閉じた式が答えを再現する率 100%、解が一意な率 100%、そしてラダー最弱の count（1 つの角を数えるだけ）だけで完答する率も 100%。理由は単純で、「未確定 1 マスの角を数える」を繰り返すことがこの三角スキャンそのものだから。

つまり全開示のクリークには問題が無い。クリークの難しさは 100% 「作者がどの数字を消したか」に宿る。

8×8 で残した数字（81 個中）	一意	`count` で完答	ラダー全部で完答
81 (100%)	100.0%	100.0%	100.0%
73 (90%)	99.2%	98.5%	99.2%
65 (80%)	89.0%	82.7%	89.0%
57 (70%)	56.5%	42.3%	56.5%
49 (60%)	19.5%	10.0%	19.5%
41 (50%)	2.3%	0.5%	2.3%

紙の縁の数字は、捨ててよい数字

角の数字は盤上で最強だ。何も推論せずにマス 1 個を名指しする。ところがそれが捨てるべき数字でもある。

答えを 1 枚とって、(a) 外周リングの角を全部消す、(b) 同じ個数だけ内部の角をランダムに消す、を比べた:

盤面	外周リングを消す	同数を内部から消す
6×6（24 個）	一意 92.5% / 自由度 11.00	一意 0.0% / 自由度 15.00
8×8（32 個）	一意 97.2% / 自由度 15.00	一意 0.0% / 自由度 19.00
10×10（40 個）	一意 99.7% / 自由度 19.00	一意 1.0% / 自由度 23.03

消した式の本数は同じ。しかも線形代数的な自由度はほとんど変わらない（100 変数中、たった 4 次元の差）。それで一意率は ~100% と ~0% に割れる。

崩壊の原因は核（kernel）の大きさではなく、核の「形」だ。

核は巨大で、そしてほぼ全部が非合法

外周リングを消すと、残るのは本物の 2×2 窓だけになる。2 つの盤面が全 2×2 和で一致するなら、その差 d の市松ひねり e[i][j] = (−1)^(i+j) d[i][j] は混合 2 階差分が消える。よって

e[i][j] = u_i + v_j

核の次元はちょうど w+h−1（8 種類の盤形で行簡約と突き合わせて確認済み）。

ここで d ∈ {−1,0,+1}（両方 0/1 行列だから）を課すと、カタログは 3 形しか残らない:

row — 1 行まるごとを市松交互に反転
col — 1 列まるごと、同上
cross — 行 r と列 c を逆符号で同時に、交点だけ据え置き

外周を消したクリークに「小さな曖昧さ」は存在しない。いちばん安い第 2 解でも 1 行まるごと動かす必要がある。だから:

盤面	核の次元	±1 の符号パターン数	まだ一意	合法な flip がある
6×6	11	2,048	93.2%	6.5%（row 23 / col 15 / cross 1）
8×8	15	32,768	98.2%	1.8%（row 5 / col 6 / cross 0）
10×10	19	524,288	100.0%	0.0%

findFlipCertificate はこのカタログを走査するだけで、探索を一切しない。外周消し盤の曖昧さを 98.1%（6×6・非一意 107 枚）と 100%（8×8・30 枚）説明し、一意盤での誤検出は 0。一方ランダムに消した盤では 0.3% と 0.1% しか説明できない——内部の窓も欠けていて定理の前提が壊れているからだ。証明書は証明が効く範囲でだけ効き、測定がそれを言っている。

ルールラダー

段	読むもの
`count`	角 1 個。4 マス以下の個数制約で、そのスコープでは既に GAC
`linear`	手がかり系全体をビルド時に 1 回だけ行簡約し、簡約後の行で区間伝播
`pair`	隣り合う角 2 つはドミノを共有する。合併した 6 マス以下を厳密列挙
`connect`	小川は 1 本。死んだ連結成分は黒、切断点は白
`probe`	色を仮定してサブラダーを回し、爆発したら捨てる

ablation: 動くのは非線形の 1 段だけ

full ラダーから 1 段抜いて fixpoint をビット単位で比較（各サイズ 120 盤）:

抜いた段	fixpoint が動いた盤	完答した盤	probe の仮定回数
−`count`	0/120, 0/120, 1/120	61→61, 29→29, 7→7	+0.8%, +6.2%, +3.9%
−`linear`	0/120, 0/120, 0/120	61→61, 29→29, 7→7	+0.0%, +0.4%, +2.6%
−`pair`	0/120, 0/120, 0/120	61→61, 29→29, 7→7	+7.2%, +5.8%, +9.2%
−`connect`	37/120, 52/120, 64/120	61→42, 29→16, 7→5	+16.8%, +8.4%, −6.4%

（6×6 / 8×8 / 10×10）線形な 3 段は互いに冗長で、どれを抜いても残り 2 段が fixpoint をビット単位で復元する。ただし無料ではない: pair を抜くと prober の仮定が 6〜9%、count を抜くと 1〜6% 増える。答えを動かすのは、ラダー中で唯一線形代数でない connect だけ。

増分ラダーは例によって逆を向く: 6×6 で count 34.2% → linear 35.0% → pair 35.0% → connect 45.0% → probe 50.8%。増分だけ読めば全段必須、ablation だけ読めば 3 段は飾り。両方出す。

比較不能な 2 段が、同じゴールに着く

linear は盤面全体を有理数上で考える。pair は 6 マスしか見ないが、そのマスが整数だと知っている。どちらも他方を含まない。ランダム 9,000 盤で:

linear が消せて pair が消せないビット: 756
pair が消せて linear が消せないビット: 1,947
両者の fixpoint が違った盤: 742
片方だけが完答した盤: 0（両方向とも）

それでもバンクには pair 級の盤がある。盤を局所最小まで間引くと、盤はちょうど 2 段が分岐するフロンティアに載るからで、その確率は 1.7%。null result は「ルールについての主張」ではなく「どこをサンプルしたかについての主張」だった。

答え側のダイヤル

黒率。 細い小川は易しく、太い小川は難しい（8×8・数字を 60% ランダムに残す）:

黒率	一意	敵対的な最小数字数
20%	8.7%	32 / 81
40%	13.3%	29 / 81
60%	24.7%	22 / 81
70%	42.7%	18 / 81

小川の形。 面積を固定し、汀線（境界の長さ）だけを変える（白の隣が少ないマスを優先して伸ばす）:

成長	汀線（辺）	0 の割合	4 の割合	一意
塊 (t=1)	26.5	35.6%	10.3%	25.3%
t=2	40.4	25.1%	6.6%	16.7%
t=4	51.2	18.2%	4.0%	15.3%
触手 (t=8)	55.9	15.3%	3.1%	14.7%

盤の大きさも白の面積も印刷する数字の個数も同じで、一意率が半分になる。仕組みはヒストグラムにある: 0 と 4 は単独で 4 マスを確定するが、くねった小川はそれをほとんど印刷しない。汀線を倍にすると、両極端が 1 に置き換わる。

敵対的なインクとランダムなインク。 局所最小まで間引いた盤が要求する数字は 6×6 / 8×8 / 10×10 で 16 / 29 / 43 個——格子の約 35% でサイズによらずほぼ一定。ランダム開示はその 2.0 倍を要求する。

生成器は行き詰まれない

クリークの答えは「白マスが連結な任意の塗り」なので、生成器は答えを探さずに作る: 1 マスから始めて、フロンティアのマスを 1 つずつ吸収する。白が盤全体になるまでフロンティアは空にならないから、棄却もリスタートも失敗も構造的に起こらない。

台帳は自作エンジン同士ではなく式と突き合わせる

1×m 盤 — 白は 1 区間なので m(m+1)/2 + 1: 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37（全数列挙と完全一致）
2×m 盤 — 列内 2 マスは隣接するので合法盤は「白の列が連なりを成し、隣り合う列が重なる」もの全体。転送行列で 4, 14, 41, 109, 276, 682, 1665, 4041, 9780, 23638（全数列挙と完全一致）、以降 57097, 137877, 332900, …
n×n 盤 — 2, 14, 219, 11507
全開示写像の単射性 — 3×3 / 4×3 / 4×4 を全数で: 512→512, 4,096→4,096, 65,536→65,536。2 枚の盤が同じ数字列を印刷することは無い
核の次元 — 予測 w+h−1 を 8 種類の盤形で行簡約と照合

エンジン突き合わせは、ルールも候補配列も行簡約も共有しない生エンジンとの解数一致 300 盤 × 5 レベルで 100%。

そしてラダー側の恒等式: 3 サイズ × 5 消去率のランダム 9,000 盤で、probe が完答する ⇔ 盤が一意が両方向とも例外 0。

バンクとテスト

出荷バンクは 75 盤（6×6 / 8×8 / 10×10 × 5 グレード）。グレードは「推測なしで完答できる最弱のルールセット」。全盤とも出荷前に探索エンジンで一意性を再証明済みで、probe 級以外の証明の分岐数は中央値 0。テストは 30 本。

TypeScript、ランタイム依存ゼロ。

デモ: https://sen.ltd/portfolio/creek/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/creek