基数変換ツールを作る — BigInt で桁数無制限、そして「小数の循環」を検出する

Posted at 2026-06-20

2〜36 進数を相互変換するツールを作った。「parseInt(s, 16) でいいのでは？」と思うかもしれないが、まともに作ると 2 つの落とし穴がある: (1) Number は 2^53 を超えると精度が壊れるので大きい数は BigInt が要る、(2) 小数部は、ある基数で割り切れても別の基数では循環する (10 進の 0.1 は 2 進で 0.0(0011) と無限に循環)。この循環をどう検出して表示するかが本題。完全ブラウザ完結・vanilla JS。

🌐 デモ: https://sen.ltd/portfolio/base-converter/
📦 GitHub: https://github.com/sen-ltd/base-converter

hinge 1: 整数部は BigInt で桁数無制限

parseInt("ff", 16) は確かに 255 を返す。でも大きい数だと壊れる:

Number.parseInt("ffffffffffffffff", 16)  // 18446744073709552000 (間違い!)
// 正しくは 18446744073709551615

Number は float64 なので 2^53 を超えると整数を正確に表せない。基数変換ツールとしては致命的。BigInt で実装する:

const DIGITS = "0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";

// 文字列 → BigInt
export function parseIntPart(intStr, base) {
  const b = BigInt(base);
  let acc = 0n;
  for (const ch of intStr) {
    acc = acc * b + BigInt(digitValue(ch));
  }
  return acc;
}

// BigInt → 文字列
export function renderIntPart(value, base) {
  if (value === 0n) return "0";
  const b = BigInt(base);
  let out = "";
  let v = value;
  while (v > 0n) {
    out = DIGITS[Number(v % b)] + out;
    v = v / b;
  }
  return out;
}

これで桁数の上限が消える。テストで 200bit を確認:

test("200-bit number converts exactly", () => {
  const bin = "1" + "0".repeat(200);  // 2^200
  assert.equal(renderIntPart(parseIntPart(bin, 2), 10),
    "1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376");
});

v % b の結果を Number() で添字にしているが、b は最大 36 なので剰余は必ず 0〜35。ここだけは安全に Number 化できる。

hinge 2: 小数部の循環を検出する

ここが面白いところ。ある基数で「割り切れる」小数が、別の基数では「循環」する。

10 進の 0.1 = 2 進で 0.0001100110011... (0011 が無限循環)
10 進の 0.5 = 2 進で 0.1 (ちょうど終わる)

なぜか? 0.1 = 1/10。分母 10 = 2×5 に 5 の因子があるが、2 進数は分母が 2 の冪のときしか割り切れない。だから 5 が残って循環する。

循環の検出: 剰余を覚えておく

小数部の基数変換は「変換先の基数を掛けて整数部を取り出す」の繰り返し。このとき剰余 (remainder) が再登場したら、そこから循環している。筆算の循環小数検出と同じ原理:

export function convertFraction(fracStr, fromBase, toBase, maxDigits = 64) {
  // 小数部を厳密に num/den (BigInt) として持つ
  const fb = BigInt(fromBase);
  let num = 0n, den = 1n;
  for (const ch of fracStr) {
    num = num * fb + BigInt(digitValue(ch));
    den = den * fb;
  }
  // 約分 (剰余の管理を正準にするため)
  const g = gcd(num, den);
  if (g > 0n) { num /= g; den /= g; }

  const tb = BigInt(toBase);
  const digits = [];
  const seen = new Map();      // 剰余 → 出現した桁位置
  let rem = num;
  let repeatStart = -1;

  while (rem !== 0n && digits.length < maxDigits) {
    if (seen.has(rem)) {       // この剰余は前に見た = 循環開始
      repeatStart = seen.get(rem);
      break;
    }
    seen.set(rem, digits.length);
    rem *= tb;
    digits.push(DIGITS[Number(rem / den)]);  // 次の桁
    rem %= den;
  }
  return { digits: digits.join(""), repeatStart };
}

ポイントは小数を num/den の分数として BigInt で厳密に持つこと。浮動小数点で計算すると誤差が入って循環検出が壊れる。BigInt の分数演算なら、剰余が正確に一致するので循環節を確実に見つけられる。

出力は循環節を括弧で囲む:

test("0.1 dec → repeating binary, wrapped in parens", () => {
  assert.deepEqual(convert("0.1", 10, 2), { value: "0.0(0011)", repeating: true });
});

0.0(0011) の (0011) が無限に繰り返す部分。デモでは 10 進 0.1 が 2 進 0.0(0011)、8 進 0.0(6314)、16 進 0.1(9) と、基数ごとに違う循環をするのが一目で見える。

なぜ約分するのか

convertFraction の頭で gcd 約分しているのは、剰余の一致判定を正準化するため。約分しないと同じ値が 2/20 と 1/10 のように複数表現を持ち、剰余ベースの循環検出が正しく動かないことがある。最初に既約分数にしておけば、剰余は値に対して一意になる。

入力検証

基数 N では使える桁が 0 〜 (N-1 番目の文字) に限られる。2 進数に 2 があったら不正:

export function isValidForBase(str, base) {
  const body = str.startsWith("-") ? str.slice(1) : str;
  if (body === "" || body === ".") return false;
  let seenDot = false;
  for (const ch of body) {
    if (ch === ".") {
      if (seenDot) return false;  // 小数点は 1 個まで
      seenDot = true;
      continue;
    }
    const v = digitValue(ch);
    if (v < 0 || v >= base) return false;  // 基数外の桁
  }
  return true;
}

UI ではエラー時に「使える桁: 0123456789abcdef」のように具体的に出す。

設計

convert.js — parse/render (BigInt)、小数の基数変換 + 循環検出 (DOM-free, 38 tests)
app.js     — UI glue、主要基数の一覧テーブル

対応基数 2〜36 (0-9 + a-z)、負数・小数対応。convert.js は DOM 非依存なので 38 個のテストが全部 Node で走る。

試してみる

デモ: https://sen.ltd/portfolio/base-converter/
GitHub: https://github.com/sen-ltd/base-converter

0.1 を入れて出力基数を 2 / 8 / 16 と変えてみてほしい。どの基数でも循環すること、循環節が違うことが見える。整数で 2^100 級の巨大な数を入れても精度が壊れないのも確認できる。

まとめ

基数変換の整数部は BigInt で。Number は 2^53 超で精度が壊れる。v % base の添字化だけは base≤36 なので安全に Number()。
小数部はある基数で割り切れても別基数で循環する。分母に変換先基数の素因数以外が残ると循環。
循環検出は剰余の再登場を Map で記録。筆算の循環小数と同じ原理。
小数を num/den の BigInt 分数で厳密に持てば、浮動小数点誤差なしで循環節を見つけられる。
最初に gcd 約分して剰余を正準化すると検出が安定する。

これは SEN 合同会社の OSS ポートフォリオ #269 です。https://sen.ltd/portfolio/

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