クロプキ (Kropki) を、4 つのルールセット内蔵でブラウザに実装した。n×n の盤面に 1〜n をラテン方陣（各行・各列に各数字ちょうど 1 回）として埋める。隣接マスの間には白ドット＝連続する 2 数、黒ドット＝一方が他方の 2 倍、無印＝どちらでもない、が全辺で開示されている。ソルバー内蔵パズル第 42 弾。

デモ: https://sen.ltd/portfolio/kropki/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/kropki

このパズルを選んだ理由は 2 つ。

全制約が線の内側に住む

ラテン則は行または列を縛る。ドットは直交隣接ペアを縛る——そして直交隣接ペアも必ず同じ行か同じ列に属する。つまりクロプキには線をまたぐ制約が 1 本も存在しない。この構造がソルバーの形を決める。伝播ルールの天井は「線 1 本を厳密に解く」こと、すなわち各行・各列について「この線の、候補とドットに整合する完全な順列に延長できる数字はどれか」を正確に答えることだ。実装は前向き・後向きの bitmask DP（状態 = 使用済み数字集合 × 末尾の数字）で、prefix と suffix を縫い合わせて各マスの生存候補を出す。

ラダーは 4 段:

レベル	ルール
`dot`	naked single（ラテン消去）+ 各辺のアーク整合（無印も負制約として伝播）
`single`	+ hidden single: 線内で行き場が 1 つの数字はそこに入る
`line`	+ 線の厳密解: 双方向 bitmask DP で線内の全制約を一括で問う
`probe`	+ 1 マスに数字を仮置きし、`line` を fixpoint まで回して矛盾したら棄却

line は自分の線の中では下位 2 段を完全に包含する。制約が全部線内なのだから、ラダーは dot ⊂ single ⊂ line の入れ子であり、ablation の帰結は定理として予言できる。実測（200 盤/サイズ、probe ラダーから 1 段抜き）:

盤面	full	−dot	−single	−line
5×5	99.0%	99.0%	99.0%	99.0%
6×6	99.5%	99.5%	99.5%	99.5%
7×7	96.0%	96.0%	96.0%	96.0%

完全フラット。−line さえ無傷なのは、probe が分岐の中で dot+single を回して取り分を回収するからだ。一方、増分ラダー（各段を足していく、全開示・生ストリーム）は各段が明確に稼ぐ:

盤面	dot	+single	+line	+probe	一意率
5×5	95.0%	99.3%	99.5%	99.5%	99.5%
7×7	64.3%	88.0%	99.0%	99.0%	99.0%
8×8	30.5%	56.5%	97.5%	97.5%	97.5%
9×9	6.7%	16.7%	82.0%	86.0%	86.0%

「ablation だけ読めば全ルール冗長、増分だけ読めば全ルール必須」——連作の教訓（両方測れ）が、タイルペイント (#324) に続いて片側定理・片側測定の形で再現した。そして 9×9 で line (82.0%) と probe (86.0%) の間に残る 4 ポイントが、線内推論では原理的に届かない、純粋な行×列結合の実測値だ。

probe ⇔ 一意が破れなかった

この連作には「probe fixpoint が完答する ⇔ 解が一意」という経験則があり、クロット (#320)・タイルペイント (#324) と、純算術パズルでは多セル組み替えに曖昧さが棲んで反例が出る、が直近の法則だった。クロプキも純算術だ。ところが今回、全 1,750 盤で probe 完答と一意が完全一致した（probe ⇒ 一意は定理、逆は測定——gap 0）。

理由は曖昧さの形にある。ラテン方陣 2 つの最小差分は intercalate——a/b と b/a が対角に並ぶ 2×2 部分長方形——で、その入れ替えは 4 マスの組み替えだ。1 マス probe はこれを直接見られないはずなのに、なぜ破れないのか。全開示のクロプキでは、intercalate が「沈黙」する（入れ替えても見えている全ドットが不変）こと自体が稀で、曖昧さが発生した盤では probe もちゃんと詰まる方向にしか外れない。反例の住処だった「probe には見えないが一意」な盤が、このパズルの全開示レジームには実測上存在しなかった。法則は破れることも破れないことも、測るまで分からない。

曖昧さには今回も顔がある。第 2 解の最小証明書は沈黙する intercalateで、探索ゼロで答えから直読できる: 4 マスの入れ替えが行・列を保ち（ラテン則は自動で無事）、外側の隣接マスに対して labelOf(a,x) = labelOf(b,x) が全部成立すれば、どのドットも動かない。実測では 9×9 の非一意 21 盤中 16 盤（76%）がこの 4 マス証明書 1 枚で説明でき、辺を半分隠した 6×6 では 61 盤中 39 盤（64%）。一意な盤で証明書が誤検出されたことは 0 回——「沈黙 intercalate ⇒ 第 2 解」は定理で、その対偶が空振りしないことの機械検査になっている。

情報の主役はドットの沈黙

古典クロプキは「ドットは全部描いてある」ルールなので、無印の辺は負制約（連続でも 2 倍でもない）だ。この沈黙がどれだけ働いているかを、無印辺だけを「不明」に置き換えた盤（ドットは全部残す）と比較して測った:

盤面	辺の構成白/黒/無印	一意（全情報）	一意（ドットのみ）
4×4	33.7% / 33.0% / 33.3%	100.0%	82.5%
6×6	26.2% / 20.3% / 53.5%	99.5%	74.5%
7×7	23.8% / 14.8% / 61.4%	96.0%	52.7%
8×8	22.1% / 14.4% / 63.5%	96.0%	47.0%

n が大きいほど無印辺が支配的になり（8×8 で 63.5%）、その沈黙を捨てると一意率は 96% → 47% まで落ちる。盤面の情報の過半は、描いてあるドットではなく描いてないドットが運んでいる。ついでに色にも非対称がある: 1·2 のペアは「連続」と「2 倍」の両方を満たすので、このリポジトリでは黒を優先して確定的にラベルづけした。したがって白ドットは「連続」に加えて「{1,2} ではない」もささやく——白は見た目より強い。

負制約をルールごと消すのではなく、辺そのものをランダムに伏せるダイヤルも回した（6×6・200 盤）:

伏せた辺の割合	probe 完答	一意	非一意のうち証明書で説明
0	100.0%	100.0%	—
25%	97.0%	97.0%	6/6 (100%)
50%	69.5%	69.5%	39/61 (64%)
75%	3.0%	3.0%	132/194 (68%)

ここでも probe と一意の列は 1 盤も割れない。

生成はラテン方陣を引いてドットを読むだけ

クロプキの答えは任意のラテン方陣だ。生成器は行ごとのランダム化バックトラッキング（リスタート上限つき）で方陣を 1 つ引き、全辺のラベルを答えから読み取るだけ——パズルレベルの探索もリトライも要らない。弱いレベル向けの盤は given（初期開示数字）で完答可能性を買い、あとで最小化する方式にした。レベル別の「弱さの値段」（最小化後 given 数の中央値）:

盤面	dot	single
5×5	0	0
7×7	0	0
9×9	2	1

7×7 までは最弱ルールですら中央値 0——全情報クロプキは素で解けるパズルで、given が要るのは 9×9 の弱レベルだけ。出荷 bank は 52 盤（5/7/9 × 4 グレード、9×9 は probe 級 5 枚を含む）、全盤とも探索エンジンで一意性を再証明済み。

エンジンの信頼性は 2 系統の突き合わせで担保する: 候補集合を伝播させる探索と、候補もドット表も持たずに定義へ直接当てる行単位の生総当たり。600/600 の (盤面, エンジン) ペアで解数一致。テストは 24 本。

デモ: https://sen.ltd/portfolio/kropki/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/kropki

SEN 合同会社では、こうした「小さく作って測って出す」を積み上げています。