実際に実装方法を書いて行きます。

コントローラー(respond_to)

Railsのコントローラーで利用できる respond_to というメソッドは
「リクエストがHTMLそれともJSONのレスポンス求めているのか」を条件に条件分岐してくれます。

　HTMLを返す場合は、該当するビューを呼びその中でデータを生成していましたが
　JSONを返す場合はRubyのハッシュをrenderメソッドの引数として渡すだけでJSONに変換されます。

controller

respond_to do |format|
  format.html { render ... } # この中はHTMLリクエストの場合に呼ばれる
  format.json { render ... } # この中はJSONリクエストの場合に呼ばれる
end

# 例
respond_to do |format|
  @comment = Comment.create(comment_params)
  format.html { redirect_to :root }
  format.json { 
    render json: { id: @user.id, comment: @comment }
  }
end

=begin
 renderというメソッドに{json: { id: @user.id, comment: @comment }}
 というハッシュを引数として渡しています。
=end

JavaScriptを記載

rails内では
JavaScriptファイルをassets/javascripts以下に作成します。
.js拡張子で作成します。

jQueryを読み込み

Ruby on Railsでは、アプリケーション作成時にjquery-railsというgemをインストールし、
assetsディレクトリ以下のapplicaton.jsファイルで

applicaton.js

//= require jquery

このように記述することでjQueryを読み込んでいます。

javascript/jqueryのコード

$.ajax

.js

$.ajax({
      type: 'get',
      url: '/comment.json',
      data: {
        comment: {
          content: comment
        }
      },
      dataType: 'json'
    })

少し複雑なのは、オブジェクト型の入れ子になっているdata以降の記述です。
dataというキーに対してのバリューはオブジェクト型であり
さらにそのバリューもオブジェクト型になるという、入れ子構造となっています。

それぞれの意味はこちら

オプション	説明
type	HTTP通信の種類を記述する。通信方法は、GETとPOSTの2種類がある。
url	リクエストを送信する先のURLを記述する。
data	サーバに送信する値を記述する。
dataType	サーバから返されるデータの型を指定する。

doneとfail

ajaxメソッドの後につけることで、非同期通信が成功した際/失敗した際に行う処理を書くことができます。
両方とも、ajaxメソッドとセットとなるメソッドです。

doneは通信が成功したときに、failは通信が失敗したときに動きます。

.js

    .done(function(data) {
      var html = $('<li class="comment">').append(comment.content);
      $('.comments').append(html);
      textField.val('');
    })
    .fail(function() {
      alert('error');
    });

.doneのあとにあるdataという変数について

doneのうしろにあるdataという変数には
リクエストによって返ってきたレスポンスが代入されます。
この場合のレスポンスは、非同期通信によって作成したCommentにあたります。

controller

def create
  @comment = Comment.create(comment_params)
  respond_to do |format|
    format.html { redirect_to :root }
    format.json { render json: @comment} #ここの記述からdeta変数に返されます。
  end
end

htmlを生成する記述

.js

$(function() {
  function buildHTML(comment) {
    var html = $('<li class="comment">').append(comment.content); //var htmlを受け取る
    return html;   //htmlで返す
  }
  //ここまでの記述でvar htmlを受け取り実行

    //省略
    $.ajax({
    //省略
    .done(function(data) {
      var html = buildHTML(data); //成功した場合data変数を受け取る
    //省略
    })
    .fail(function() {
      alert('error');
    });
  });
});

総まとめ

jsファイルのまとめコードです。

.js

$(function() {
  function buildHTML(comment) {
    var html = $('<li class="comment">').append(comment.content);
    return html;
  }

  $('.js-form').on('submit', function(e) {
    e.preventDefault();
    var textField = $('.js-form__text-field');
    var comment = textField.val();
    $.ajax({
      type: 'POST',
      url: '/comments.json',
      data: {
        comment: {
          content: comment
        }
      },
      dataType: 'json'
    })
    .done(function(data) {
      var html = buildHTML(data);
      $('.comments').append(html);
      textField.val('');
    })
    .fail(function() {
      alert('error');
    });
  });
});