[追記]
@il9437 さんに標準入力が負数だった場合、無限ループになってしまっていたので、修正を加えました。コメントまでお読みください

まずアルゴリズムの学習を始めるにあたって最初に考え方をインプットしておきましょう
まずコンピューターの処理の種類は四つしかありません
入力、記憶、演算、出力のみです

アルゴリズムと聞くと難しいと思うかもしれませんが、この4つを組み合わせて最高の処理の形を探すだけです

同様にして処理の流れも三つしかありません
順次、分岐、繰り返しのみです

次に問題を解くコツ4つを見ていきましょう

処理の区切りを考える
キリの悪い数字を疑う
数値の変化を追う
計算量は無視してとりあえず動くようにしてみる
より良い処理を考える

こんな感じですね

ここを抑えてユークリッドの互除法を考えていきましょう
そもそもユークリッドの互除法とは二つの最大公約数を求めるアルゴリズムです

二つの整数の大きい方から小さい方を引くことを二つの整数が等しくなるまで繰り返す
等しくなった値が最大公約数

ではまずなぜそうなるのかを考えましょう

100と25の最大公約数を求めていきましょう
100=5^2*2^2
25=5^2ですね
つまり共通している5^2が最大公約数
これを上のアルゴリズムで計算すると

100>25なので 100-25=75 75>25なので 75-25=50 50>25なので 50-25=25 25=25なので最大公約数は25

ではなぜこうなるのかを解説していきます
縦25、横100の長方形から縦25、横25の正方形を取り除くことができるのでユークリッドの互除法です

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しかしこれだと数が大きくなれば大きくなるほど、計算回数が増えてしまうため、
剰余を求めてやるのが先ほど紹介したコツにある、より良い処理を考えるというところになります

function euclidean(int $x, int $y) {
    if ($x < $y) return euclidean($y, $x); 
    if ($y == 0) return $x;
    return euclidean(abs($y), intval($x % $y));
}

まず$x >= $yの状態を作りたいので$xの方が$yよりも小さい場合は数値を入れ替えて計算しなおします
また$yが0の場合も必ず$xになる上に割る数のエラーが出てしまうので$xを返しています