はじめに
量子力学を学んでいると、必ずと言っていいほど登場するのが 生成演算子 $\hat a^\dagger$ と 消滅演算子 $\hat a$ です。
これらはハミルトニアンを美しく表すことができますが、教科書では
- $\hat a|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle$
- $\hat a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$
のような重要な式が結果だけ提示され、途中計算は省略されがちです。
本記事では、筆者自身もまだ初学者の立場から、
「なぜ係数が $\sqrt{n}$ になるのか」「どういう作用から導かれるのか」を、
途中の式変形を追いながら整理してみます。
調和振動子と生成・消滅演算子の定義
調和振動子のハミルトニアンは
\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat x^2
と表されます。位置 $\hat x$、運動量 $\hat p$ の交換関係は
[\hat x, \hat p] = i\hbar
です。
このとき、生成・消滅演算子を
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x + \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat x - \frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat p
と定義すると、交換関係
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1
が成り立ちます。
これによりハミルトニアンは
\hat H = \hbar\omega \left(\hat n + \frac12\right),
\quad \hat n \equiv \hat a^\dagger \hat a
と書き換えられます。
固有状態と零点エネルギー
数演算子 $\hat n$ の固有状態 $|n\rangle$ は
\hat n |n\rangle = n |n\rangle \quad (n=0,1,2,\dots)
を満たし、エネルギー固有値は
E_n = \hbar\omega\left(n+\frac12\right)
です。
特に $n=0$ の基底状態は
E_0 = \frac12 \hbar\omega
となり、これが零点エネルギーです。
生成・消滅演算子と数演算子の作用
生成・消滅演算子は、次の基本的な交換関係を満たします：
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1.
数演算子は
\hat n = \hat a^\dagger \hat a
と定義され、$\hat n|n\rangle = n|n\rangle$ が成り立ちます。
ここで、これらの関係をもとにして、$\hat a$ と $\hat a^\dagger$ の作用の性質を調べてみます。
消滅演算子の作用
まず、$\hat n \hat a |n\rangle$ を計算します：
\begin{align}
\hat n \hat a |n\rangle
&= \hat a^\dagger \hat a \hat a |n\rangle \\
&= (\hat a \hat a^\dagger - 1)\hat a |n\rangle \\
&= \hat a \hat a^\dagger \hat a |n\rangle - \hat a |n\rangle \\
&= \hat a \hat n |n\rangle - \hat a |n\rangle \\
&= \hat a (n |n\rangle) - \hat a |n\rangle \\
&= (n-1) \hat a |n\rangle.
\end{align}
したがって $\hat a|n\rangle$ は $|n-1\rangle$ に比例することが分かります：
\hat a|n\rangle \propto |n-1\rangle.
生成演算子の作用
同様にして $\hat n \hat a^\dagger |n\rangle$ を計算します：
\begin{align}
\hat n \hat a^\dagger |n\rangle
&= \hat a^\dagger \hat a \hat a^\dagger |n\rangle \\
&= \hat a^\dagger (\hat a^\dagger \hat a + 1) |n\rangle \\
&= \hat a^\dagger \hat a^\dagger \hat a |n\rangle + \hat a^\dagger |n\rangle \\
&= \hat a^\dagger \hat n |n\rangle + \hat a^\dagger |n\rangle \\
&= \hat a^\dagger (n|n\rangle) + \hat a^\dagger |n\rangle \\
&= (n+1)\hat a^\dagger|n\rangle.
\end{align}
よって、生成演算子は状態を一段「上げる」作用を持つことがわかります：
\hat a^\dagger|n\rangle \propto |n+1\rangle.
生成・消滅演算子の係数
ここで係数を具体的に求めます。
次のように定義します：
\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle
\hat a^\dagger|n\rangle = c'_n |n+1\rangle
生成演算子の係数の導出
両辺に $\langle n| \hat a^\dagger$ を作用させると：
\langle n| \hat a^\dagger \hat a |n\rangle
= \langle n| \hat n |n\rangle
= n
一方で
\hat a|n\rangle = c_n |n-1\rangle
から
\langle n| \hat a^\dagger \hat a |n\rangle
= |c_n|^2 \langle n-1| n-1 \rangle
= |c_n|^2
となるので
|c_n|^2 = n
\quad \Rightarrow \quad
c_n = \sqrt{n}.
消滅演算子の係数の導出
同様に
\hat a^\dagger|n\rangle = c'_n |n+1\rangle
とすると
\langle n| \hat a \hat a^\dagger |n\rangle
= \langle n| (\hat a^\dagger \hat a + 1) |n\rangle
= \langle n| (\hat n + 1) |n\rangle
= n+1
また
\langle n| \hat a \hat a^\dagger |n\rangle
= |c'_n|^2
より
c'_n = \sqrt{n+1}.
まとめ
本記事では、調和振動子における生成・消滅演算子の基本的な性質を整理しました。
交換関係 $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ から、これらの演算子がそれぞれ状態を一段「上げる」「下げる」作用を持つことを確認しました。
量子力学はまだ本の入り口（本だけに）さえ十分に掴めていない段階ですが、少しずつ式の意味を追いながら、その不思議な構造の美しさに触れていけたらと思います。
謝辞
本記事の内容を整理するにあたり、
枝松圭一『単一光子と量子もつれ光子 ― 量子光学と量子光技術の基礎』（共立出版, 2022）
を参考にさせていただきました。感謝いたします。