はじめに
RA と Dec は天体の位置を表す座標です。
例えば、
-
SS 433
- RA = 287.96°
- Dec = +4.98°
-
Cas A
- RA = 350.86°
- Dec = +58.81°
のように表されます。
普段は平面上の座標のように扱ってしまいがちですが、RA と Dec は本来「天球上」の座標です。
そのため、
- RA が 1°変化
- Dec が 1°変化
は必ずしも同じ距離を意味しません。
今回はその理由を簡単に整理してみます。
地球の緯度・経度と同じ
RA と Dec は、
- RA → 経度
- Dec → 緯度
と思うとイメージしやすいです。
地球上でも、
- 赤道で経度 1°
- 北緯60°で経度 1°
では距離が違います。
北極に近づくほど経線同士が集まるからです。
天球上でもまったく同じことが起こります。
天球上で見てみる
下図は RA-Dec を球面上に描いたものです。
コードはこちら
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# ============================================================
# RA-Dec celestial sphere
# ============================================================
def radec_to_xyz(ra_deg, dec_deg):
"""
Convert RA-Dec coordinates to Cartesian coordinates
on a unit sphere.
Parameters
----------
ra_deg : float or array-like
Right ascension in degrees.
dec_deg : float or array-like
Declination in degrees.
Returns
-------
x, y, z : float or array-like
Cartesian coordinates on the unit sphere.
"""
ra = np.deg2rad(ra_deg)
dec = np.deg2rad(dec_deg)
x = np.cos(dec) * np.cos(ra)
y = np.cos(dec) * np.sin(ra)
z = np.sin(dec)
return x, y, z
# ============================================================
# Sphere surface
# ============================================================
ra_grid = np.linspace(0, 360, 361)
dec_grid = np.linspace(-90, 90, 181)
ra_rad = np.deg2rad(ra_grid)
dec_rad = np.deg2rad(dec_grid)
RA, DEC = np.meshgrid(ra_rad, dec_rad)
X = np.cos(DEC) * np.cos(RA)
Y = np.cos(DEC) * np.sin(RA)
Z = np.sin(DEC)
# ============================================================
# Object positions
# ============================================================
objects = {
"SS 433": {
"ra_deg": 287.9565,
"dec_deg": 4.9827,
"color": "crimson",
},
"Cas A": {
"ra_deg": 350.8583,
"dec_deg": 58.8114,
"color": "tab:purple",
},
}
for name in objects:
ra_deg = objects[name]["ra_deg"]
dec_deg = objects[name]["dec_deg"]
x, y, z = radec_to_xyz(ra_deg, dec_deg)
objects[name]["x"] = x
objects[name]["y"] = y
objects[name]["z"] = z
# ============================================================
# Figure
# ============================================================
fig = plt.figure(figsize=(8, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
# Celestial sphere
ax.plot_surface(
X, Y, Z,
color="lightgray",
alpha=0.10,
edgecolor="none",
shade=False,
)
# ============================================================
# Declination lines
# constant Dec: small circles parallel to celestial equator
# ============================================================
for dec_deg in [-60, -30, 0, 30, 60]:
ra = np.linspace(0, 360, 721)
dec = np.full_like(ra, dec_deg)
x, y, z = radec_to_xyz(ra, dec)
if dec_deg == 0:
ax.plot(
x, y, z,
color="black",
linewidth=1.8,
alpha=0.85,
)
else:
ax.plot(
x, y, z,
color="gray",
linewidth=1.0,
alpha=0.55,
)
# Dec label
x_lab, y_lab, z_lab = radec_to_xyz(10, dec_deg)
ax.text(
1.06 * x_lab,
1.06 * y_lab,
1.06 * z_lab,
f"Dec {dec_deg:+d}°",
fontsize=8,
color="dimgray",
)
# ============================================================
# Right ascension lines
# constant RA: great circles through celestial poles
# ============================================================
for ra_deg in np.arange(0, 360, 30):
dec = np.linspace(-90, 90, 361)
ra = np.full_like(dec, ra_deg)
x, y, z = radec_to_xyz(ra, dec)
ax.plot(
x, y, z,
color="gray",
linewidth=0.8,
alpha=0.40,
)
# RA label on equator
x_lab, y_lab, z_lab = radec_to_xyz(ra_deg, 0)
ax.text(
1.13 * x_lab,
1.13 * y_lab,
1.13 * z_lab,
f"{ra_deg:d}°",
fontsize=8,
color="dimgray",
ha="center",
va="center",
)
# ============================================================
# Highlight object positions
# ============================================================
for name, info in objects.items():
ra_deg = info["ra_deg"]
dec_deg = info["dec_deg"]
color = info["color"]
x0 = info["x"]
y0 = info["y"]
z0 = info["z"]
# Constant Dec line through the object
ra = np.linspace(0, 360, 721)
dec = np.full_like(ra, dec_deg)
x, y, z = radec_to_xyz(ra, dec)
ax.plot(
x, y, z,
color=color,
linewidth=2.0,
alpha=0.75,
label=f"{name}: Dec = {dec_deg:.2f}°",
)
# Constant RA line through the object
dec = np.linspace(-90, 90, 361)
ra = np.full_like(dec, ra_deg)
x, y, z = radec_to_xyz(ra, dec)
ax.plot(
x, y, z,
color=color,
linewidth=1.8,
alpha=0.75,
linestyle="--",
label=f"{name}: RA = {ra_deg:.2f}°",
)
# Object marker
ax.scatter(
x0, y0, z0,
s=120,
color=color,
edgecolor="black",
linewidth=0.8,
zorder=10,
)
ax.text(
1.10 * x0,
1.10 * y0,
1.10 * z0,
name,
color=color,
fontsize=12,
weight="bold",
)
# ============================================================
# Celestial poles and reference directions
# ============================================================
ax.scatter(0, 0, 1, color="black", s=30)
ax.scatter(0, 0, -1, color="black", s=30)
ax.text(
0, 0, 1.12,
"North celestial pole\nDec = +90°",
ha="center",
fontsize=9,
)
ax.text(
0, 0, -1.12,
"South celestial pole\nDec = -90°",
ha="center",
fontsize=9,
)
# RA = 0 direction
ax.quiver(
0, 0, 0,
1.05, 0, 0,
color="black",
arrow_length_ratio=0.06,
linewidth=1.2,
)
ax.text(
1.18, 0, 0,
"RA = 0°",
fontsize=10,
ha="center",
)
ax.text(
0, 1.18, 0,
"RA = 90°",
fontsize=10,
ha="center",
)
# ============================================================
# Appearance
# ============================================================
ax.set_box_aspect([1, 1, 1])
ax.set_axis_off()
# View angle
ax.view_init(elev=22, azim=35)
ax.legend(
loc="upper left",
frameon=False,
fontsize=8,
)
plt.tight_layout()
plt.show()
コードの実行は Google Colab からもお試しいただけます；
https://colab.research.google.com/drive/17gEJpXyjQ6KxL89m4IJK8AkwqdCDfbue?usp=sharing
赤道に対応する Dec=0° の円が最も大きく、北極に近づくにつれて円が小さくなっていることが分かります。
SS 433 は赤道付近にありますが、Cas A はかなり高い Dec にあります。
そのため Cas A の方が、同じ RA の変化に対する実際の移動距離が短くなります。
なぜ cos(Dec) が出てくるのか
Dec が δ の場所では、その緯度の円の半径は
r = \cos\delta
になります。
つまり、
\rm{RA}方向の距離
=
赤道での距離 × \cos(\rm {Dec})
です。
小さな角度差で考えると、
\Delta s_{\rm RA}
\simeq
\cos\delta \,\Delta\alpha
となります。
SS 433 と Cas A
SS 433 では
- Dec = +4.98°
- cos(Dec) ≈ 0.996
です。ほぼ 1 なので、RA方向の縮みはほとんどありません。
一方 Cas A では
- Dec = +58.81°
- cos(Dec) ≈ 0.518
です。つまり、Cas A のRAで1°動くというのは実際には約0.52°しか移動しません。
まとめ
RA と Dec は平面座標ではなく、球面上の座標です。
そのため高い Dec では、
\Delta s_{\rm RA}
\simeq
\cos\delta\,\Delta\alpha
となり、RA方向の距離は縮みます。
Cas A のような高 Dec の天体では特に効いてくるので、位置ずれや見かけの運動を扱うときには注意したいところです。